初中数学四边形综合题解答题

如图①， $\mathit{BD}$是矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线， $\angle \mathit{ABD}=30°$， $\mathit{AD}=1$．将 $\mathit{\Delta BCD}$沿射线 $\mathit{BD}$方向平移到△ $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$的位置，使 $B^{\text{'}}$为 $\mathit{BD}$中点，连接 $A{B}^{\text{'}}$， $C^{\text{'}}D$， $A{D}^{\text{'}}$， $B{C}^{\text{'}}$，如图②．

（1）求证：四边形 $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}D$是菱形；

（2）四边形 $\mathit{AB}{C}^{\text{'}}D\text{'}$的周长为　　；

（3）将四边形 $\mathit{AB}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．

【再现】如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$， $E$分别是 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$的中点，可以得到： $\mathit{DE}//\mathit{BC}$，且 $\mathit{DE}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$．（不需要证明）

【探究】如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别是 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点，判断四边形 $\mathit{EFGH}$的形状，并加以证明．

【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形 $\mathit{ABCD}$中，满足什么条件时，四边形 $\mathit{EFGH}$是菱形？你添加的条件是：　　．（只添加一个条件）

（2）如图③，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别是 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$．若 $\mathit{AO}=\mathit{OC}$，四边形 $\mathit{ABCD}$面积为5，则阴影部分图形的面积和为　　．

感知：如图1， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$． $\angle B+\angle C=180°$， $\angle B=90°$，易知： $\mathit{DB}=\mathit{DC}$．

探究：如图2， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$， $\angle \mathit{ABD}+\angle \mathit{ACD}=180°$， $\angle \mathit{ABD}<90°$，求证： $\mathit{DB}=\mathit{DC}$．

应用：如图3，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B=45°$， $\angle C=135°$， $\mathit{DB}=\mathit{DC}=a$，则 $\mathit{AB}-\mathit{AC}=$　 $\sqrt{2}a$　（用含 $a$的代数式表示）

平面内，如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AD}=15$， $\tan A=\frac{4}{3}$，点 $P$为 $\mathit{AD}$边上任意点，连接 $\mathit{PB}$，将 $\mathit{PB}$绕点 $P$逆时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{PQ}$．

（1）当 $\angle \mathit{DPQ}=10°$时，求 $\angle \mathit{APB}$的大小；

（2）当 $\tan \angle \mathit{ABP}:\tan A=3:2$时，求点 $Q$与点 $B$间的距离（结果保留根号）；

（3）若点 $Q$恰好落在 $▱\mathit{ABCD}$的边所在的直线上，直接写出 $\mathit{PB}$旋转到 $\mathit{PQ}$所扫过的面积．（结果保留 $\pi )$

如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为，四边形EFQP的面积为，四边形PQCB的面积为

（1）求证：EF＋PQ=BC
（2）若＋=，求的值
（3）若－=，直接写出的值

（年新疆、生产建设兵团）如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB于点F，连结BE．
（1）如图①，求证：∠AFD=∠EBC；
（2）如图②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度数；
（3）若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数（只写出条件与对应的结果）