初中数学四边形综合题解答题

如图1，正方形 $\mathit{ABDE}$和 $\mathit{BCFG}$的边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$在同一条直线上，且 $\mathit{AB}=2\mathit{BC}$，取 $\mathit{EF}$的中点 $M$，连接 $\mathit{MD}$， $\mathit{MG}$， $\mathit{MB}$．

（1）试证明 $\mathit{DM}\perp \mathit{MG}$，并求 $\frac{\mathit{MB}}{\mathit{MG}}$的值．

（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设 $\angle \mathit{EAB}=2\alpha (0<\alpha <90°)$，其它条件不变，问（1）中 $\frac{\mathit{MB}}{\mathit{MG}}$的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 $\alpha$的式子表示）；若无变化，说明理由．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=10\mathit{cm}$， $E$为对角线 $\mathit{BD}$上一动点，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{CE}$，过 $E$点作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AE}$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $F$． $E$点从 $B$点出发，沿着 $\mathit{BD}$方向以每秒 $2\mathit{cm}$的速度运动，当点 $E$与点 $D$重合时，运动停止．设 $\mathit{\Delta BEF}$的面积为 $\mathit{yc}{m}^2$， $E$点的运动时间为 $x$秒．

（1）求证： $\mathit{CE}=\mathit{EF}$；

（2）求 $y$与 $x$之间关系的函数表达式，并写出自变量 $x$的取值范围；

（3）求 $\mathit{\Delta BEF}$面积的最大值．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中，连结 $\mathit{AC}$，点 $E$从点 $B$出发，以每秒1个单位的速度沿着 $B\to A\to C$的路径运动，运动时间为 $t$（秒 $)$．过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$，在矩形 $\mathit{ABCD}$的内部作正方形 $\mathit{EFGH}$．

（1）如图，当 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=8$时，

①若点 $H$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部，连结 $\mathit{AH}$、 $\mathit{CH}$，求证： $\mathit{AH}=\mathit{CH}$；

②当 $0<t⩽8$时，设正方形 $\mathit{EFGH}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的重叠部分面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（2）当 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=8$时，若直线 $\mathit{AH}$将矩形 $\mathit{ABCD}$的面积分成 $1:3$两部分，求 $t$的值．

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{CAB}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $C$作 $\mathit{CF}\perp \mathit{AE}$，交 $\mathit{AE}$的延长线于点 $G$，交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{BF}$；

（2）如图2，连接 $\mathit{BG}$、 $\mathit{BD}$，求证： $\mathit{BG}$平分 $\angle \mathit{DBF}$；

（3）如图3，连接 $\mathit{DG}$交 $\mathit{AC}$于点 $M$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{DM}}$的值．

箭头四角形

模型规律

如图1，延长 $\mathit{CO}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，则 $\angle \mathit{BOC}=\angle 1+\angle B=\angle A+\angle C+\angle B$．

因为凹四边形 $\mathit{ABOC}$形似箭头，其四角具有“ $\angle \mathit{BOC}=\angle A+\angle B+\angle C$”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．

模型应用

（1）直接应用：①如图2， $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F=$　 $2\alpha$　．

②如图3， $\angle \mathit{ABE}$、 $\angle \mathit{ACE}$的2等分线（即角平分线） $\mathit{BF}$、 $\mathit{CF}$交于点 $F$，已知 $\angle \mathit{BEC}=120°$， $\angle \mathit{BAC}=50°$，则 $\angle \mathit{BFC}=$　　．

③如图4， $B{O}_i$、 $C{O}_i$分别为 $\angle \mathit{ABO}$、 $\angle \mathit{ACO}$的2019等分线 $(i=1$，2，3， $\dots$，2017， $2018)$．它们的交点从上到下依次为 $O_1$、 $O_2$、 $O_3$、 $\dots$、 $O_{2018}$．已知 $\angle \mathit{BOC}=m°$， $\angle \mathit{BAC}=n°$，则 $\angle B{O}_{1000}C=$　　度．

（2）拓展应用：如图5，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BC}=\mathit{CD}$， $\angle \mathit{BCD}=2\angle \mathit{BAD}$． $O$是四边形 $\mathit{ABCD}$内一点，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}=\mathit{OD}$．求证：四边形 $\mathit{OBCD}$是菱形．

我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于 $3)$，可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．

（1）已知凸五边形 $\mathit{ABCDE}$的各条边都相等．

①如图1，若 $\mathit{AC}=\mathit{AD}=\mathit{BE}=\mathit{BD}=\mathit{CE}$，求证：五边形 $\mathit{ABCDE}$是正五边形；

②如图2，若 $\mathit{AC}=\mathit{BE}=\mathit{CE}$，请判断五边形 $\mathit{ABCDE}$是不是正五边形，并说明理由：

（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假” $)$

如图3，已知凸六边形 $\mathit{ABCDEF}$的各条边都相等．

①若 $\mathit{AC}=\mathit{CE}=\mathit{EA}$，则六边形 $\mathit{ABCDEF}$是正六边形； $($　　 $)$

②若 $\mathit{AD}=\mathit{BE}=\mathit{CF}$，则六边形 $\mathit{ABCDEF}$是正六边形． $($　　 $)$

定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

（1）如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的角平分线， $E$， $F$分别是 $\mathit{BD}$， $\mathit{AD}$上的点．

求证：四边形 $\mathit{ABEF}$是邻余四边形．

（2）如图2，在 $5\times 4$的方格纸中， $A$， $B$在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 $\mathit{ABEF}$，使 $\mathit{AB}$是邻余线， $E$， $F$在格点上．

（3）如图3，在（1）的条件下，取 $\mathit{EF}$中点 $M$，连结 $\mathit{DM}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $Q$，延长 $\mathit{EF}$交 $\mathit{AC}$于点 $N$．若 $N$为 $\mathit{AC}$的中点， $\mathit{DE}=2\mathit{BE}$， $\mathit{QB}=3$，求邻余线 $\mathit{AB}$的长．

在平面直角坐标系中， $O$为原点，点 $A(6,0)$，点 $B$在 $y$轴的正半轴上， $\angle \mathit{ABO}=30°$．矩形 $\mathit{CODE}$的顶点 $D$， $E$， $C$分别在 $\mathit{OA}$， $\mathit{AB}$， $\mathit{OB}$上， $\mathit{OD}=2$．

（Ⅰ）如图①，求点 $E$的坐标；

（Ⅱ）将矩形 $\mathit{CODE}$沿 $x$轴向右平移，得到矩形 $C\text{'}O\text{'}D\text{'}E\text{'}$，点 $C$， $O$， $D$， $E$的对应点分别为 $C\text{'}$， $O\text{'}$， $D\text{'}$， $E\text{'}$．设 $\mathit{OO}\text{'}=t$，矩形 $C\text{'}O\text{'}D\text{'}E\text{'}$与 $\mathit{\Delta ABO}$重叠部分的面积为 $S$．

①如图②，当矩形 $C\text{'}O\text{'}D\text{'}E\text{'}$与 $\mathit{\Delta ABO}$重叠部分为五边形时， $C\text{'}E\text{'}$， $E\text{'}D\text{'}$分别与 $\mathit{AB}$相交于点 $M$， $F$，试用含有 $t$的式子表示 $S$，并直接写出 $t$的取值范围；

②当 $\sqrt{3}⩽S⩽5\sqrt{3}$时，求 $t$的取值范围（直接写出结果即可）．

在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{AOBC}$是矩形，点 $O(0,0)$，点 $A(5,0)$，点 $B(0,3)$．以点 $A$为中心，顺时针旋转矩形 $\mathit{AOBC}$，得到矩形 $\mathit{ADEF}$，点 $O$， $B$， $C$的对应点分别为 $D$， $E$， $F$．

（Ⅰ）如图①，当点 $D$落在 $\mathit{BC}$边上时，求点 $D$的坐标；

（Ⅱ）如图②，当点 $D$落在线段 $\mathit{BE}$上时， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$交于点 $H$．

①求证 $\mathit{\Delta ADB}\cong \mathit{\Delta AOB}$；

②求点 $H$的坐标．

（Ⅲ）记 $K$为矩形 $\mathit{AOBC}$对角线的交点， $S$为 $\mathit{\Delta KDE}$的面积，求 $S$的取值范围（直接写出结果即可）．

综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=2\mathit{AB}$， $E$是 $\mathit{AB}$延长线上一点，且 $\mathit{BE}=\mathit{AB}$，连接 $\mathit{DE}$，交 $\mathit{BC}$于点 $M$，以 $\mathit{DE}$为一边在 $\mathit{DE}$的左下方作正方形 $\mathit{DEFG}$，连接 $\mathit{AM}$．试判断线段 $\mathit{AM}$与 $\mathit{DE}$的位置关系．

探究展示：勤奋小组发现， $\mathit{AM}$垂直平分 $\mathit{DE}$，并展示了如下的证明方法：

证明： $\because \mathit{BE}=\mathit{AB}$， $\therefore \mathit{AE}=2\mathit{AB}$．

$\because \mathit{AD}=2\mathit{AB}$， $\therefore \mathit{AD}=\mathit{AE}$．

$\because$四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形， $\therefore \mathit{AD}//\mathit{BC}$．

$\therefore \frac{\mathit{EM}}{\mathit{DM}}=\frac{\mathit{EB}}{\mathit{AB}}$．（依据 $1)$

$\because \mathit{BE}=\mathit{AB}$， $\therefore \frac{\mathit{EM}}{\mathit{DM}}=1$． $\therefore \mathit{EM}=\mathit{DM}$．

即 $\mathit{AM}$是 $\mathit{\Delta ADE}$的 $\mathit{DE}$边上的中线，

又 $\because \mathit{AD}=\mathit{AE}$， $\therefore \mathit{AM}\perp \mathit{DE}$．（依据 $2)$

$\therefore \mathit{AM}$垂直平分 $\mathit{DE}$．

反思交流：

（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

②试判断图1中的点 $A$是否在线段 $\mathit{GF}$的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；

（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接 $\mathit{CE}$，以 $\mathit{CE}$为一边在 $\mathit{CE}$的左下方作正方形 $\mathit{CEFG}$，发现点 $G$在线段 $\mathit{BC}$的垂直平分线上，请你给出证明；

探索发现：

（3）如图3，连接 $\mathit{CE}$，以 $\mathit{CE}$为一边在 $\mathit{CE}$的右上方作正方形 $\mathit{CEFG}$，可以发现点 $C$，点 $B$都在线段 $\mathit{AE}$的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形 $\mathit{ABCD}$和正方形 $\mathit{CEFG}$的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．

已知：如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=\mathit{CD}$， $E$是对角线 $\mathit{BD}$上一点，且 $\mathit{EA}=\mathit{EC}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形；

（2）如果 $\mathit{BE}=\mathit{BC}$，且 $\angle \mathit{CBE}:\angle \mathit{BCE}=2:3$，求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形．

问题发现

（1）如图（1），四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，若 $\mathit{AB}=\mathit{AD}$ ， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$ ，则线段 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{AC}$ 的位置关系为 　 　；

拓展探究

（2）如图（2），在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中，点 $F$ 为斜边 $\mathit{BC}$ 的中点，分别以 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 为底边，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 外部作等腰三角形 $\mathit{ABD}$ 和等腰三角形 $\mathit{ACE}$ ，连接 $\mathit{FD}$ ， $\mathit{FE}$ ，分别交 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ， $N$ ，试猜想四边形 $\mathit{FMAN}$ 的形状，并说明理由；

解决问题

（3）如图（3），在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ，以点 $A$ 为旋转中心将正方形 $\mathit{ABCD}$ 旋转 $60°$ ，得到正方形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ，请直接写出 $\mathit{BD}\text{'}$ 的长度．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=4\mathit{cm}$， $\mathit{AB}=3\mathit{cm}$， $E$为边 $\mathit{BC}$上一点， $\mathit{BE}=\mathit{AB}$，连接 $\mathit{AE}$．动点 $P$、 $Q$从点 $A$同时出发，点 $P$以 $\sqrt{2}\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{AE}$向终点 $E$运动；点 $Q$以 $2\mathit{cm}/s$的速度沿折线 $\mathit{AD}-\mathit{DC}$向终点 $C$运动．设点 $Q$运动的时间为 $x\left(s\right)$，在运动过程中，点 $P$，点 $Q$经过的路线与线段 $\mathit{PQ}$围成的图形面积为 $y\left(c{m}^2\right)$．

（1） $\mathit{AE}=$　　 $\mathit{cm}$， $\angle \mathit{EAD}=$　　 $°$；

（2）求 $y$关于 $x$的函数解析式，并写出自变量 $x$的取值范围；

（3）当 $\mathit{PQ}=\frac{5}{4}\mathit{cm}$时，直接写出 $x$的值．

性质探究

如图①，在等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=120°$，则底边 $\mathit{AB}$与腰 $\mathit{AC}$的长度之比为　　．

理解运用

（1）若顶角为 $120°$的等腰三角形的周长为 $8+4\sqrt{3}$，则它的面积为　　；

（2）如图②，在四边形 $\mathit{EFGH}$中， $\mathit{EF}=\mathit{EG}=\mathit{EH}$．

①求证： $\angle \mathit{EFG}+\angle \mathit{EHG}=\angle \mathit{FGH}$；

②在边 $\mathit{FG}$， $\mathit{GH}$上分别取中点 $M$， $N$，连接 $\mathit{MN}$．若 $\angle \mathit{FGH}=120°$， $\mathit{EF}=10$，直接写出线段 $\mathit{MN}$的长．

类比拓展

顶角为 $2\alpha$的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　（用含 $\alpha$的式子表示）．

在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是边 $\mathit{CD}$上一点（点 $E$不与点 $C$、 $D$重合），连结 $\mathit{BE}$．

【感知】如图①，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{BE}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$．易证 $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta BCE}$．（不需要证明）

【探究】如图②，取 $\mathit{BE}$的中点 $M$，过点 $M$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{BE}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，交 $\mathit{AD}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{FG}$．

（2）连结 $\mathit{CM}$，若 $\mathit{CM}=1$，则 $\mathit{FG}$的长为　　．

【应用】如图③，取 $\mathit{BE}$的中点 $M$，连结 $\mathit{CM}$．过点 $C$作 $\mathit{CG}\perp \mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $G$，连结 $\mathit{EG}$、 $\mathit{MG}$．若 $\mathit{CM}=3$，则四边形 $\mathit{GMCE}$的面积为　　．