初中数学四边形综合题解答题

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $P$ 为对角线 $\mathit{AC}$ 所在直线上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PD}$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $N$ ． $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$ ， $\mathit{AD}=4$ ．

（1）如图1，①当点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上时， $\angle \mathit{PDM}$ 和 $\angle \mathit{EPN}$ 的数量关系为： $\angle \mathit{PDM}$ $\angle \mathit{EPN}$ ；

② $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{PE}}$ 的值是 　　；

（2）如图2，当点 $P$ 在 $\mathit{CA}$ 延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，以线段 $\mathit{PD}$ ， $\mathit{PE}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEFD}$ ．设 $\mathit{PM}$ 的长为 $x$ ，矩形 $\mathit{PEFD}$ 的面积为 $y$ ．请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及 $y$ 的最小值．

【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】

（1）如图①，对余四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=6$ ， $\mathit{CD}=4$ ，连接 $\mathit{AC}$ ．若 $\mathit{AC}=\mathit{AB}$ ，求 $\sin \angle \mathit{CAD}$ 的值；

（2）如图②，凸四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=\mathit{BD}$ ， $\mathit{AD}\perp \mathit{BD}$ ，当 $2C{D}^2+C{B}^2=C{A}^2$ 时，判断四边形 $\mathit{ABCD}$ 是否为对余四边形．证明你的结论；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐标系中，点 $A(-1,0)$ ， $B(3,0)$ ， $C(1,2)$ ，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是对余四边形，点 $E$ 在对余线 $\mathit{BD}$ 上，且位于 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部， $\angle \mathit{AEC}=90°+\angle \mathit{ABC}$ ．设 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{BE}}=u$ ，点 $D$ 的纵坐标为 $t$ ，请直接写出 $u$ 关于 $t$ 的函数解析式．

（1）如图1，点 $P$为矩形 $\mathit{ABCD}$对角线 $\mathit{BD}$上一点，过点 $P$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$于点 $E$、 $F$．若 $\mathit{BE}=2$， $\mathit{PF}=6$， $\mathit{\Delta AEP}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta CFP}$的面积为 $S_2$，则 $S_1+S_2=$　 　；

（2）如图2，点 $P$为 $▱\mathit{ABCD}$内一点（点 $P$不在 $\mathit{BD}$上），点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别为各边的中点．设四边形 $\mathit{AEPH}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{PFCG}$的面积为 $S_2$（其中 $S_2>S_1)$，求 $\mathit{\Delta PBD}$的面积（用含 $S_1$、 $S_2$的代数式表示）；

（3）如图3，点 $P$为 $▱\mathit{ABCD}$内一点（点 $P$不在 $\mathit{BD}$上），过点 $P$作 $\mathit{EF}//\mathit{AD}$， $\mathit{HG}//\mathit{AB}$，与各边分别相交于点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$．设四边形 $\mathit{AEPH}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{PGCF}$的面积为 $S_2$（其中 $S_2>S_1)$，求 $\mathit{\Delta PBD}$的面积（用含 $S_1$、 $S_2$的代数式表示）；

（4）如图4，点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$把 $\odot O$四等分．请你在圆内选一点 $P$（点 $P$不在 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$上），设 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$、 $\widehat{\mathit{BC}}$围成的封闭图形的面积为 $S_1$， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PD}$、 $\widehat{\mathit{AD}}$围成的封闭图形的面积为 $S_2$， $\mathit{\Delta PBD}$的面积为 $S_3$， $\mathit{\Delta PAC}$的面积为 $S_4$，根据你选的点 $P$的位置，直接写出一个含有 $S_1$、 $S_2$、 $S_3$、 $S_4$的等式（写出一种情况即可）．

定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为"直角等邻对补"四边形，简称"直等补"四边形．

根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是 $\mathit{CD}$ 上的点，将 $\mathit{\Delta BCE}$ 绕 $B$ 点旋转，使 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{BA}$ 重合，此时点 $E$ 的对应点 $F$ 在 $\mathit{DA}$ 的延长线上，则四边形 $\mathit{BEDF}$ 为"直等补"四边形，为什么？

（2）如图2，已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是"直等补"四边形， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=1$ ， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$ ，点 $B$ 到直线 $\mathit{AD}$ 的距离为 $\mathit{BE}$ ．

①求 $\mathit{BE}$ 的长；

②若 $M$ 、 $N$ 分别是 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AD}$ 边上的动点，求 $\mathit{\Delta MNC}$ 周长的最小值．

如图1，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 的底边 $\mathit{BC}$ 在 $x$ 轴上， $\mathit{BC}=8$ ，顶点 $A$ 在 $y$ 的正半轴上， $\mathit{OA}=2$ ，一动点 $E$ 从 $(3,0)$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达 $\mathit{OB}$ 的中点停止．另一动点 $F$ 从点 $C$ 出发，以相同的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达点 $O$ 停止．已知点 $E$ 、 $F$ 同时出发，以 $\mathit{EF}$ 为边作正方形 $\mathit{EFGH}$ ，使正方形 $\mathit{EFGH}$ 和 $\mathit{\Delta ABC}$ 在 $\mathit{BC}$ 的同侧，设运动的时间为 $t$ 秒 $(t⩾0)$ ．

（1）当点 $H$ 落在 $\mathit{AC}$ 边上时，求 $t$ 的值；

（2）设正方形 $\mathit{EFGH}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 重叠面积为 $S$ ，请问是否存在 $t$ 值，使得 $S=\frac{91}{36}$ ？若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取 $\mathit{AC}$ 的中点 $D$ ，连结 $\mathit{OD}$ ，当点 $E$ 、 $F$ 开始运动时，点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $2\sqrt{5}$ 个单位的速度沿 $\mathit{OD}-\mathit{DC}-\mathit{CD}-\mathit{DO}$ 运动，到达点 $O$ 停止运动．请问在点 $E$ 的整个运动过程中，点 $M$ 可能在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点 $M$ 在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形，点 $O$为对角线 $\mathit{AC}$的中点．

（1）问题解决：如图①，连接 $\mathit{BO}$，分别取 $\mathit{CB}$， $\mathit{BO}$的中点 $P$， $Q$，连接 $\mathit{PQ}$，则 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{BO}$的数量关系是　 　，位置关系是　　；

（2）问题探究：如图②，△ $A{O}^{\text{'}}E$是将图①中的 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $A$按顺时针方向旋转 $45°$得到的三角形，连接 $\mathit{CE}$，点 $P$， $Q$分别为 $\mathit{CE}$， $B{O}^{\text{'}}$的中点，连接 $\mathit{PQ}$， $\mathit{PB}$．判断 $\mathit{\Delta PQB}$的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，△ $A{O}^{\text{'}}E$是将图①中的 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $45°$得到的三角形，连接 $B{O}^{\text{'}}$，点 $P$， $Q$分别为 $\mathit{CE}$， $B{O}^{\text{'}}$的中点，连接 $\mathit{PQ}$， $\mathit{PB}$．若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，求 $\mathit{\Delta PQB}$的面积．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$长是 $x^2-3x-18=0$的根，连接 $\mathit{BD}$， $\angle \mathit{DBC}=30°$，并过点 $C$作 $\mathit{CN}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $N$，动点 $P$从 $B$点以每秒2个单位长度的速度沿 $\mathit{BD}$方向匀速运动到 $D$点为止；点 $M$沿线段 $\mathit{DA}$以每秒 $\sqrt{3}$个单位长度的速度由点 $D$向点 $A$匀速运动，到点 $A$为止，点 $P$与点 $M$同时出发，设运动时间为 $t$秒 $(t>0)$．

（1）线段 $\mathit{CN}=$　 $3\sqrt{3}$　；

（2）连接 $\mathit{PM}$和 $\mathit{MN}$，求 $\mathit{\Delta PMN}$的面积 $s$与运动时间 $t$的函数关系式；

（3）在整个运动过程中，当 $\mathit{\Delta PMN}$是以 $\mathit{PN}$为腰的等腰三角形时，直接写出点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}$在 $y$轴上． $O$为坐标原点， $\mathit{AB}//\mathit{OC}$，线段 $\mathit{OA}$， $\mathit{AB}$的长分别是方程 $x^2-9x+20=0$的两个根 $(\mathit{OA}<\mathit{AB})$， $\tan \angle \mathit{OCB}=\frac{4}{3}$．

（1）求点 $B$， $C$的坐标；

（2） $P$为 $\mathit{OA}$上一点， $Q$为 $\mathit{OC}$上一点， $\mathit{OQ}=5$，将 $\mathit{\Delta POQ}$翻折，使点 $O$落在 $\mathit{AB}$上的点 $O\text{'}$处，双曲线 $y=\frac{k}{x}$的一个分支过点 $O\text{'}$．求 $k$的值；

（3）在（2）的条件下， $M$为坐标轴上一点，在平面内是否存在点 $N$，使以 $O\text{'}$， $Q$， $M$， $N$为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$．若不改变矩形 $\mathit{ABCD}$的形状和大小，当矩形顶点 $A$在 $x$轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 $D$始终在 $y$轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当 $\angle \mathit{OAD}=30°$时，求点 $C$的坐标；

（2）设 $\mathit{AD}$的中点为 $M$，连接 $\mathit{OM}$、 $\mathit{MC}$，当四边形 $\mathit{OMCD}$的面积为 $\frac{21}{2}$时，求 $\mathit{OA}$的长；

（3）当点 $A$移动到某一位置时，点 $C$到点 $O$的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 $\cos \angle \mathit{OAD}$的值．

如图一，在射线 $\mathit{DE}$的一侧以 $\mathit{AD}$为一条边作矩形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AD}=5\sqrt{3}$， $\mathit{CD}=5$，点 $M$是线段 $\mathit{AC}$上一动点（不与点 $A$重合），连结 $\mathit{BM}$，过点 $M$作 $\mathit{BM}$的垂线交射线 $\mathit{DE}$于点 $N$，连接 $\mathit{BN}$．

（1）求 $\angle \mathit{CAD}$的大小；

（2）问题探究：动点 $M$在运动的过程中，

①是否能使 $\mathit{\Delta AMN}$为等腰三角形，如果能，求出线段 $\mathit{MC}$的长度；如果不能，请说明理由．

② $\angle \mathit{MBN}$的大小是否改变？若不改变，请求出 $\angle \mathit{MBN}$的大小；若改变，请说明理由．

（3）问题解决：

如图二，当动点 $M$运动到 $\mathit{AC}$的中点时， $\mathit{AM}$与 $\mathit{BN}$的交点为 $F$， $\mathit{MN}$的中点为 $H$，求线段 $\mathit{FH}$的长度．

如图，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $A$出发以 $1\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{AB}$匀速运动．动点 $Q$同时从点 $C$出发以同样的速度沿 $\mathit{BC}$的延长线方向匀速运动，当点 $P$到达点 $B$时，点 $P$、 $Q$同时停止运动．设运动时间为 $t\left(s\right)$．过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AC}$于 $E$，连接 $\mathit{PQ}$交 $\mathit{AC}$边于 $D$．以 $\mathit{CQ}$、 $\mathit{CE}$为边作平行四边形 $\mathit{CQFE}$．

（1）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta BPQ}$为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻 $t$，使点 $F$在 $\angle \mathit{ABC}$的平分线上？若存在，求出 $t$的值，若不存在，请说明理由；

（3）求 $\mathit{DE}$的长；

（4）取线段 $\mathit{BC}$的中点 $M$，连接 $\mathit{PM}$，将 $\mathit{\Delta BPM}$沿直线 $\mathit{PM}$翻折，得△ $B\text{'}\mathit{PM}$，连接 $\mathit{AB}\text{'}$，当 $t$为何值时， $A{B}^{\text{'}}$的值最小？并求出最小值．

已知：如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AB}=10\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=8\mathit{cm}$， $\mathit{OD}$垂直平分 $A$ $C$．点 $P$从点 $B$出发，沿 $\mathit{BA}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$；同时，点 $Q$从点 $D$出发，沿 $\mathit{DC}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AB}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $Q$作 $\mathit{QF}//\mathit{AC}$，分别交 $\mathit{AD}$， $\mathit{OD}$于点 $F$， $G$．连接 $\mathit{OP}$， $\mathit{EG}$．设运动时间为 $t\left(s\right)(0<t<5)$，解答下列问题：

（1）当 $t$为何值时，点 $E$在 $\angle \mathit{BAC}$的平分线上？

（2）设四边形 $\mathit{PEGO}$的面积为 $S\left(c{m}^2\right)$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使四边形 $\mathit{PEGO}$的面积最大？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OQ}$，在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $\mathit{OE}\perp \mathit{OQ}$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{AD}=10$， $E$是 $\mathit{CD}$边上一点，连接 $\mathit{AE}$，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{AE}$折叠，顶点 $D$恰好落在 $\mathit{BC}$边上点 $F$处，延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $G$．

（1）求线段 $\mathit{CE}$的长；

（2）如图2， $M$， $N$分别是线段 $\mathit{AG}$， $\mathit{DG}$上的动点（与端点不重合），且 $\angle \mathit{DMN}=\angle \mathit{DAM}$，设 $\mathit{AM}=x$， $\mathit{DN}=y$．

①写出 $y$关于 $x$的函数解析式，并求出 $y$的最小值；

②是否存在这样的点 $M$，使 $\mathit{\Delta DMN}$是等腰三角形？若存在，请求出 $x$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在以点 $O$为中心的正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=4$，连接 $\mathit{AC}$，动点 $E$从点 $O$出发沿 $O\to C$以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点 $C$停止．在运动过程中， $\mathit{\Delta ADE}$的外接圆交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$，连接 $\mathit{EF}$，将 $\mathit{\Delta EFG}$沿 $\mathit{EF}$翻折，得到 $\mathit{\Delta EFH}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等腰直角三角形；

（2）当点 $H$恰好落在线段 $\mathit{BC}$上时，求 $\mathit{EH}$的长；

（3）设点 $E$运动的时间为 $t$秒， $\mathit{\Delta EFG}$的面积为 $S$，求 $S$关于时间 $t$的关系式．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{CD}$的中点，点 $F$是 $\mathit{BC}$边上的点， $\mathit{AF}=\mathit{AD}+\mathit{FC}$，平行四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $S$，由 $A$、 $E$、 $F$三点确定的圆的周长为 $l$．

（1）若 $\mathit{\Delta ABE}$的面积为30，直接写出 $S$的值；

（2）求证： $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{DAF}$；

（3）若 $\mathit{AE}=\mathit{BE}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=5$，求 $l$的值．