初中数学四边形综合题解答题

如图所示，梯形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}//\mathit{DC}$ ， $\angle B=90°$ ， $\mathit{AD}=15$ ， $\mathit{AB}=16$ ， $\mathit{BC}=12$ ，点 $E$ 是边 $\mathit{AB}$ 上的动点，点 $F$ 是射线 $\mathit{CD}$ 上一点，射线 $\mathit{ED}$ 和射线 $\mathit{AF}$ 交于点 $G$ ，且 $\angle \mathit{AGE}=\angle \mathit{DAB}$ ．

（1）求线段 $\mathit{CD}$ 的长；

（2）如果 $\mathit{\Delta AEG}$ 是以 $\mathit{EG}$ 为腰的等腰三角形，求线段 $\mathit{AE}$ 的长；

（3）如果点 $F$ 在边 $\mathit{CD}$ 上（不与点 $C$ 、 $D$ 重合），设 $\mathit{AE}=x$ ， $\mathit{DF}=y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围．

问题提出：

（1）如图1，已知 $\mathit{\Delta ABC}$，试确定一点 $D$，使得以 $A$， $B$， $C$， $D$为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；

问题探究：

（2）如图2，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=10$，若要在该矩形中作出一个面积最大的 $\mathit{\Delta BPC}$，且使 $\angle \mathit{BPC}=90°$，求满足条件的点 $P$到点 $A$的距离；

问题解决：

（3）如图3，有一座塔 $A$，按规定，要以塔 $A$为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区 $\mathit{BCDE}$．根据实际情况，要求顶点 $B$是定点，点 $B$到塔 $A$的距离为50米， $\angle \mathit{CBE}=120°$，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区 $\mathit{BCDE}$？若可以，求出满足要求的平行四边形 $\mathit{BCDE}$的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔 $A$的占地面积忽略不计）

问题提出

（1）如图①，已知直线 $l$及 $l$外一点 $A$，试在直线 $l$上确定 $B$、 $C$两点，使 $\angle \mathit{BAC}=90°$，并画出这个 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$．

问题探究

（2）如图②， $O$是边长为28的正方形 $\mathit{ABCD}$的对称中心， $M$是 $\mathit{BC}$边上的中点，连接 $\mathit{OM}$．试在正方形 $\mathit{ABCD}$的边上确定点 $N$，使线段 $\mathit{ON}$和 $\mathit{OM}$将正方形 $\mathit{ABCD}$分割成面积之比为 $1:6$的两部分．求点 $N$到点 $M$的距离．

问题解决

（3）如图③，有一个矩形花园 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=30m$， $\mathit{BC}=40m$．根据设计要求，点 $E$、 $F$在对角线 $\mathit{BD}$上，且 $\angle \mathit{EAF}=60°$，并在四边形区域 $\mathit{AECF}$内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.4$， $\sqrt{3}\approx 1.7)$

问题提出

（1）如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{BC}=6$ ， $D$ 为 $\mathit{BC}$ 上一点， $\mathit{AD}=4$ ，则 $\mathit{\Delta ABC}$ 面积的最大值是 　　．

问题探究

（2）如图②，已知矩形 $\mathit{ABCD}$ 的周长为12，求矩形 $\mathit{ABCD}$ 面积的最大值．

问题解决

（3）如图③， $\mathit{\Delta ABC}$ 是葛叔叔家的菜地示意图，其中 $\mathit{AB}=30$ 米， $\mathit{BC}=40$ 米， $\mathit{AC}=50$ 米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形 $\mathit{ABCD}$ ，且满足 $\angle \mathit{ADC}=60°$ ．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．

我们定义：如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，把 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <180°)$得到 $A{B}^{\text{'}}$，把 $\mathit{AC}$绕点 $A$逆时针旋转 $\beta$得到 $A{C}^{\text{'}}$，连接 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$．当 $\alpha +\beta =180°$时，我们称△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补三角形”，△ $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$边 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$上的中线 $\mathit{AD}$叫做 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补中线”，点 $A$叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△ $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补三角形”， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补中线”．

①如图2，当 $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形时， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$的数量关系为 $\mathit{AD}=$　　 $\mathit{BC}$；

②如图3，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{BC}=8$时，则 $\mathit{AD}$长为　　．

猜想论证：

（2）在图1中，当 $\mathit{\Delta ABC}$为任意三角形时，猜想 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形 $\mathit{ABCD}$， $\angle C=90°$， $\angle D=150°$， $\mathit{BC}=12$， $\mathit{CD}=2\sqrt{3}$， $\mathit{DA}=6$．在四边形内部是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PDC}$是 $\mathit{\Delta PAB}$的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求 $\mathit{\Delta PAB}$的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

如图1，在，将一块与全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠。
（1）操作1：固定，将三角板沿方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2所示，探究：三角板沿方向平移的距离为___________；
（2）操作2：在（1）的情况下，将三角板BC的中点M顺时针方向旋转角度，如图3所示，探究：设三角形板两直角边分别与AB、AC交于点P、Q，观察四边形MPAQ形状的变化，问：四边形MPAQ的面积S是否改变，若不变，求其面积；若改变，试说明理由；