初中数学四边形综合题试题

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上， $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的长分别是一元二次方程 $x^2-7x+12=0$的两个根 $(\mathit{BC}>\mathit{AB})$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$，边 $\mathit{CD}$交 $y$轴于点 $E$，动点 $P$以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$出发沿折线段 $\mathit{AD}-\mathit{DE}$向点 $E$运动，运动的时间为 $t(0⩽t⩽6)$秒，设 $\mathit{\Delta BPE}$的面积为 $S$．

（1）求点 $D$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点 $P$运动的过程中，是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta BEP}$是以 $\mathit{BE}$为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$中 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于 $O$点，点 $M$在线段 $\mathit{BD}$上，作直线 $\mathit{AM}$交直线 $\mathit{DC}$于 $E$，过 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AE}$于 $H$，设直线 $\mathit{DH}$交 $\mathit{AC}$于 $N$．

（1）如图1，当 $M$在线段 $\mathit{BO}$上时，求证： $\mathit{MO}=\mathit{NO}$；

（2）如图2，当 $M$在线段 $\mathit{OD}$上，连接 $\mathit{NE}$，当 $\mathit{EN}//\mathit{BD}$时，求证： $\mathit{BM}=\mathit{AB}$；

（3）在图3，当 $M$在线段 $\mathit{OD}$上，连接 $\mathit{NE}$，当 $\mathit{NE}\perp \mathit{EC}$时，求证： $A{N}^2=\mathit{NC}\cdot \mathit{AC}$．

（1）数学理解：如图①， $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形，过斜边 $\mathit{AB}$的中点 $D$作正方形 $\mathit{DECF}$，分别交 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，求 $\mathit{AB}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{AF}$之间的数量关系；

（2）问题解决：如图②，在任意直角 $\mathit{\Delta ABC}$内，找一点 $D$，过点 $D$作正方形 $\mathit{DECF}$，分别交 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，若 $\mathit{AB}=\mathit{BE}+\mathit{AF}$，求 $\angle \mathit{ADB}$的度数；

（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长 $\mathit{ED}$， $\mathit{FD}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$， $N$，求 $\mathit{MN}$， $\mathit{AM}$， $\mathit{BN}$的数量关系．

如图1，矩形ABCD中， $\mathit{AB}＝7\mathit{cm}$ ， $\mathit{AD}＝4\mathit{cm}$，点E为AD上一定点，点F为AD延长线上一点，且 $\mathit{DF}＝\mathit{acm}$，点P从A点出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，连结PE，设点P运动的时间为ts，△PAE的面积为ycm²，当 $0\le t\le 1$时，△PAE的面积y（cm²）关于时间t（s）的函数图象如图2所示，连结PF，交CD于点H．

（1）t的取值范围为   　，AE＝　 　cm；

（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连结AM，当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；

（3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以1cm/s的速度运动，如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连结PQ，QH．若 $a=\frac{4}{3}\text{cm}$，请问△PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由．

如图，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中，已知 $\mathit{AB}=1$， $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，点 $E$在边 $\mathit{CD}$上移动，连接 $\mathit{AE}$，将多边形 $\mathit{ABCE}$沿直线 $\mathit{AE}$翻折，得到多边形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}E$，点 $B$、 $C$的对应点分别为点 $B\text{'}$、 $C\text{'}$．

（1）当 $B\text{'}C\text{'}$恰好经过点 $D$时（如图 $1$），求线段 $\mathit{CE}$的长；

（2）若 $B\text{'}C\text{'}$分别交边 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$于点 $F$， $G$，且 $\angle \mathit{DAE}=22.5°$（如图 $2)$，求 $\mathit{\Delta DFG}$的面积；

（3）在点 $E$从点 $C$移动到点 $D$的过程中，求点 $C\text{'}$运动的路径长．

问题呈现：

如图1，点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别在矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DA}$上， $\mathit{AE}=\mathit{DG}$，求证： $2S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}=S_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}$．（ $S$表示面积）

实验探究：

某数学实验小组发现：若图1中 $\mathit{AH}\ne \mathit{BF}$，点 $G$在 $\mathit{CD}$上移动时，上述结论会发生变化，分别过点 $E$、 $G$作 $\mathit{BC}$边的平行线，再分别过点 $F$、 $H$作 $\mathit{AB}$边的平行线，四条平行线分别相交于点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$、 $D_1$，得到矩形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$．

如图2，当 $\mathit{AH}>\mathit{BF}$时，若将点 $G$向点 $C$靠近 $(\mathit{DG}>\mathit{AE})$，经过探索，发现： $2S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}=S_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}+S_{\mathit{矩形}{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$．

如图3，当 $\mathit{AH}>\mathit{BF}$时，若将点 $G$向点 $D$靠近 $(\mathit{DG}<\mathit{AE})$，请探索 $S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}$、 $S_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}$与 $S_{\mathit{矩形}{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$之间的数量关系，并说明理由．

迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

（1）如图4，点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别是面积为25的正方形 $\mathit{ABCD}$各边上的点，已知 $\mathit{AH}>\mathit{BF}$， $\mathit{AE}>\mathit{DG}$， $S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}=11$， $\mathit{HF}=\sqrt{29}$，求 $\mathit{EG}$的长．

（2）如图5，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=5$，点 $E$、 $H$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$上， $\mathit{BE}=1$， $\mathit{DH}=2$，点 $F$、 $G$分别是边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上的动点，且 $\mathit{FG}=\sqrt{10}$，连接 $\mathit{EF}$、 $\mathit{HG}$，请直接写出四边形 $\mathit{EFGH}$面积的最大值．

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=m$，动点 $P$从点 $D$出发，在边 $\mathit{DA}$上以每秒1个单位的速度向点 $A$运动，连接 $\mathit{CP}$，作点 $D$关于直线 $\mathit{PC}$的对称点 $E$，设点 $P$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）若 $m=6$，求当 $P$， $E$， $B$三点在同一直线上时对应的 $t$的值．

（2）已知 $m$满足：在动点 $P$从点 $D$到点 $A$的整个运动过程中，有且只有一个时刻 $t$，使点 $E$到直线 $\mathit{BC}$的距离等于3，求所有这样的 $m$的取值范围．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，矩形 $\mathit{EFGH}$的一边 $\mathit{EF}$在 $\mathit{AB}$上，顶点 $G$、 $H$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$上， $\mathit{CD}$是边 $\mathit{AB}$上的高， $\mathit{CD}$交 $\mathit{GH}$于点 $I$．若 $\mathit{CI}=4$， $\mathit{HI}=3$， $\mathit{AD}=\frac{9}{2}$．矩形 $\mathit{DFGI}$恰好为正方形．

（1）求正方形 $\mathit{DFGI}$的边长；

（2）如图2，延长 $\mathit{AB}$至 $P$．使得 $\mathit{AC}=\mathit{CP}$，将矩形 $\mathit{EFGH}$沿 $\mathit{BP}$的方向向右平移，当点 $G$刚好落在 $\mathit{CP}$上时，试判断移动后的矩形与 $\mathit{\Delta CBP}$重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？

（3）如图3，连接 $\mathit{DG}$，将正方形 $\mathit{DFGI}$绕点 $D$顺时针旋转一定的角度得到正方形 $\mathit{DF}\text{'}G\text{'}I\text{'}$，正方形 $\mathit{DF}\text{'}G\text{'}I\text{'}$分别与线段 $\mathit{DG}$、 $\mathit{DB}$相交于点 $M$、 $N$，求 $\mathit{\Delta MNG}\text{'}$的周长．

如图，在射线 $\mathit{BA}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$围成的菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{AB}=6\sqrt{3}$， $O$是射线 $\mathit{BD}$上一点， $\odot O$与 $\mathit{BA}$， $\mathit{BC}$都相切，与 $\mathit{BO}$的延长线交于点 $M$．过 $M$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$交线段 $\mathit{BA}$（或射线 $\mathit{AD})$于点 $E$，交线段 $\mathit{BC}$（或射线 $\mathit{CD})$于点 $F$．以 $\mathit{EF}$为边作矩形 $\mathit{EFGH}$，点 $G$， $H$分别在围成菱形的另外两条射线上．

（1）求证： $\mathit{BO}=2\mathit{OM}$．

（2）设 $\mathit{EF}>\mathit{HE}$，当矩形 $\mathit{EFGH}$的面积为 $24\sqrt{3}$时，求 $\odot O$的半径．

（3）当 $\mathit{HE}$或 $\mathit{HG}$与 $\odot O$相切时，求出所有满足条件的 $\mathit{BO}$的长．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AB}\ne \mathit{CD}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$上，且 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$， $\mathit{AB}=\mathit{AF}$， $\mathit{CD}=\mathit{DF}$．

（1）求证： $\mathit{CF}\perp \mathit{FB}$；

（2）求证：以 $\mathit{AD}$为直径的圆与 $\mathit{BC}$相切；

（3）若 $\mathit{EF}=2$， $\angle \mathit{DFE}=120°$，求 $\mathit{\Delta ADE}$的面积．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上． $\angle \mathit{OAB}＝90°$且 $\mathit{OA}＝\mathit{AB}$，OB，OC的长分别是一元二次方程 $x^2﹣11x+30＝0$的两个根 $（\mathit{OB}＞\mathit{OC}）$．

（1）求点A和点B的坐标．

（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知 $t＝4$时，直线l恰好过点C．当 $0＜t＜3$时，求m关于t的函数关系式．

（3）当 $m＝3.5$时，请直接写出点P的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上． $\angle \mathit{OAB}＝90°$且 $\mathit{OA}＝\mathit{AB}$，OB，OC的长分别是一元二次方程 $x^2﹣11x+30＝0$的两个根 $（\mathit{OB}＞\mathit{OC}）$．

（1）求点A和点B的坐标．

（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知 $t＝4$时，直线l恰好过点C．当 $0＜t＜3$时，求m关于t的函数关系式．

（3）当 $m＝3.5$时，请直接写出点P的坐标．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $C$出发以 $1\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{CA}$匀速运动，同时动点 $Q$从点 $A$出发以 $\sqrt{2}\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{AB}$匀速运动，当点 $P$到达点 $A$时，点 $P$、 $Q$同时停止运动，设运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）当 $t$为何值时，点 $B$在线段 $\mathit{PQ}$的垂直平分线上？

（2）是否存在某一时刻 $t$，使 $\mathit{\Delta APQ}$是以 $\mathit{PQ}$为腰的等腰三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（3）以 $\mathit{PC}$为边，往 $\mathit{CB}$方向作正方形 $\mathit{CPMN}$，设四边形 $\mathit{QNCP}$的面积为 $S$，求 $S$关于 $t$的函数关系式．

(回顾）

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=30°$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于　    　．

（探究）

图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有 $30°$的角，较短的直角边长为 $a$；另一个含有 $45°$的角，直角边长为 $b$，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形 $\mathit{ABCD}$（如图 $3)$，用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形 $\mathit{EFGH}$（如图 $4)$，也推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，请你写出小明或小丽推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$的具体说理过程．

（应用）

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\angle D=75°$， $\mathit{BC}=6$， $\mathit{CD}=5$， $\mathit{AD}=10$（如图5）

（1）点 $E$在 $\mathit{AD}$上，设 $t=\mathit{BE}+\mathit{CE}$，求 $t^2$的最小值；

（2）点 $F$在 $\mathit{AB}$上，将 $\mathit{\Delta BCF}$沿 $\mathit{CF}$翻折，点 $B$落在 $\mathit{AD}$上的点 $G$处，点 $G$是 $\mathit{AD}$的中点吗？说明理由．

如图，在边长为1的正方形 $\mathit{ABCD}$中，动点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$上，将正方形 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠，使点 $B$的对应点 $M$始终落在边 $\mathit{AD}$上（点 $M$不与点 $A$、 $D$重合），点 $C$落在点 $N$处， $\mathit{MN}$与 $\mathit{CD}$交于点 $P$，设 $\mathit{BE}=x$．

（1）当 $\mathit{AM}=\frac{1}{3}$时，求 $x$的值；

（2）随着点 $M$在边 $\mathit{AD}$上位置的变化， $\mathit{\Delta PDM}$的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

（3）设四边形 $\mathit{BEFC}$的面积为 $S$，求 $S$与 $x$之间的函数表达式，并求出 $S$的最小值．