初中数学垂径定理解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $O$在 $\mathit{AC}$上，以 $\mathit{OC}$为半径作 $\odot O$，与 $\mathit{BC}$相交于点 $D$，与 $\mathit{AB}$相切于点 $E$，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\tan \angle A=\frac{3}{4}$， $\mathit{BF}=2$，求 $\odot O$的半径．

已知：如图， $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$是 $\odot O$的两条弦，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$是 $\mathit{AO}$延长线上一点，联结 $\mathit{BD}$并延长交 $\odot O$于点 $E$，联结 $\mathit{CD}$并延长交 $\odot O$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{CD}$；

（2）如果 $A{B}^2=\mathit{AO}·\mathit{AD}$，求证：四边形 $\mathit{ABDC}$是菱形．

如图，已知 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{\Delta ABC}$ 是 $\odot O$ 的内接三角形， $\mathit{AB}=8$ ，．过点 $B$ 作 $\odot O$ 的切线 $\mathit{BD}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AD}\perp \mathit{BD}$ ，垂足为 $D$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{BAD}+\angle C=90°$

（2）求线段 $\mathit{AD}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BA}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，以 $\mathit{AB}$为直径的半圆 $O$交 $\mathit{AC}$于点 $D$，点 $E$是 $\widehat{\mathit{BD}}$上不与点 $B$， $D$重合的任意一点，连接 $\mathit{AE}$交 $\mathit{BD}$于点 $F$，连接 $\mathit{BE}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADF}\cong \mathit{\Delta BDG}$；

（2）填空：

①若 $\mathit{AB}=4$，且点 $E$是 $\widehat{\mathit{BD}}$的中点，则 $\mathit{DF}$的长为　 　；

②取 $\widehat{\mathit{AE}}$的中点 $H$，当 $\angle \mathit{EAB}$的度数为　　时，四边形 $\mathit{OBEH}$为菱形．

如图，在 $\odot O$中， $\angle \mathit{AOB}=120°$，点 $C$为 $\widehat{\mathit{AB}}$的中点，延长 $\mathit{OC}$到点 $D$，使 $\mathit{CD}=\mathit{OC}$， $\mathit{AB}$交 $\mathit{OC}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DA}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OA}=6$，求弦 $\mathit{AB}$的长．

在平面内，给定不在同一条直线上的点 $A$， $B$， $C$，如图所示，点 $O$到点 $A$， $B$， $C$的距离均等于 $a(a$为常数），到点 $O$的距离等于 $a$的所有点组成图形 $G$， $\angle \mathit{ABC}$的平分线交图形 $G$于点 $D$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{AD}=\mathit{CD}$；

（2）过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BA}$，垂足为 $E$，作 $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $F$，延长 $\mathit{DF}$交图形 $G$于点 $M$，连接 $\mathit{CM}$．若 $\mathit{AD}=\mathit{CM}$，求直线 $\mathit{DE}$与图形 $G$的公共点个数．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的一条弦， $E$是 $\mathit{AB}$的中点，过点 $E$作 $\mathit{EC}\perp \mathit{OA}$于点 $C$，过点 $B$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{CE}$的延长线于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{DB}=\mathit{DE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=12$， $\mathit{BD}=5$，求 $\odot O$的半径．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径， $F$ 为弦 $\mathit{AC}$ 的中点，连接 $\mathit{OF}$ 并延长交 $\widehat{\mathit{AC}}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线，交 $\mathit{BA}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{AC}//\mathit{DE}$ ；

（2）连接 $\mathit{CD}$ ，若 $\mathit{OA}=\mathit{AE}=a$ ，写出求四边形 $\mathit{ACDE}$ 面积的思路．

如图， $\odot O$为锐角 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆，半径为5．

（1）用尺规作图作出 $\angle \mathit{BAC}$的平分线，并标出它与劣弧 $\widehat{\mathit{BC}}$的交点 $E$（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若（1）中的点 $E$到弦 $\mathit{BC}$的距离为3，求弦 $\mathit{CE}$的长．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\angle B=\angle D$， $\mathit{AD}$不平行于 $\mathit{BC}$，过点 $C$作 $\mathit{CE}//\mathit{AD}$交 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆 $O$于点 $E$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECD}$为平行四边形；

（2）连接 $\mathit{CO}$，求证： $\mathit{CO}$平分 $\angle \mathit{BCE}$．

操作题：如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，P是⊙O上一点．

（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线；
（2）结合图②，说明你这样画的理由．

（年贵州省毕节）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．

（年青海省西宁市）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM．

（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径．

（年江西省南昌市）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图1，AC=BC；
（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．