初中数学直线与圆的位置关系试题

如图在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{3}{4}x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，点 $P$、 $Q$同时从点 $A$出发，运动时间为 $t$秒．其中点 $P$沿射线 $\mathit{AB}$运动，速度为每秒4个单位长度，点 $Q$沿射线 $\mathit{AO}$运动，速度为每秒5个单位长度．以点 $Q$为圆心， $\mathit{PQ}$长为半径作 $\odot Q$．

（1）求证：直线 $\mathit{AB}$是 $\odot Q$的切线；

（2）过点 $A$左侧 $x$轴上的任意一点 $C(m,0)$，作直线 $\mathit{AB}$的垂线 $\mathit{CM}$，垂足为 $M$．若 $\mathit{CM}$与 $\odot Q$相切于点 $D$，求 $m$与 $t$的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，是否存在点 $C$，直线 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CM}$、 $y$轴与 $\odot Q$同时相切？若存在，请直接写出此时点 $C$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a<0)$与 $x$轴交于 $A(3,0)$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴是直线 $x=1$， $D$为抛物线的顶点，点 $E$在 $y$轴 $C$点的上方，且 $\mathit{CE}=\frac{1}{2}$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）求证：直线 $\mathit{DE}$是 $\mathit{\Delta ACD}$外接圆的切线；

（3）在直线 $\mathit{AC}$上方的抛物线上找一点 $P$，使 $S_{\mathit{\Delta ACP}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ACD}}$，求点 $P$的坐标；

（4）在坐标轴上找一点 $M$，使以点 $B$、 $C$、 $M$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$相似，直接写出点 $M$的坐标．

如图，已知二次函数 $y=\frac{4}{9}{x}^2-4$的图象与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\odot C$的半径为 $\sqrt{5}$， $P$为 $\odot C$上一动点．

（1）点 $B$， $C$的坐标分别为 $B($　 　 $)$， $C($　 　 $)$；

（2）是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PBC}$为直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{PB}$，若 $E$为 $\mathit{PB}$的中点，连接 $\mathit{OE}$，则 $\mathit{OE}$的最大值 $=$　 　．

对于平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中的图形 $M$， $N$，给出如下定义： $P$为图形 $M$上任意一点， $Q$为图形 $N$上任意一点，如果 $P$， $Q$两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 $M$， $N$间的“闭距离“，记作 $d(M,N)$．

已知点 $A(-2,6)$， $B(-2,-2)$， $C(6,-2)$．

（1）求 $d$（点 $O$， $\mathit{\Delta ABC})$；

（2）记函数 $y=\mathit{kx}(-1⩽x⩽1,k\ne 0)$的图象为图形 $G$．若 $d(G,\mathit{\Delta ABC})=1$，直接写出 $k$的取值范围；

（3） $\odot T$的圆心为 $T(t,0)$，半径为1．若 $d(\odot T,\mathit{\Delta ABC})=1$，直接写出 $t$的取值范围．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中的点 $P$和图形 $M$，给出如下的定义：若在图形 $M$上存在一点 $Q$，使得 $P$、 $Q$两点间的距离小于或等于1，则称 $P$为图形 $M$的关联点．

（1）当 $\odot O$的半径为2时，

①在点 $P_1(\frac{1}{2}$， $0)$， $P_2(\frac{1}{2}$， $\frac{\sqrt{3}}{2})$， $P_3(\frac{5}{2}$， $0)$中， $\odot O$的关联点是　 　．

②点 $P$在直线 $y=-x$上，若 $P$为 $\odot O$的关联点，求点 $P$的横坐标的取值范围．

（2） $\odot C$的圆心在 $x$轴上，半径为2，直线 $y=-x+1$与 $x$轴、 $y$轴交于点 $A$、 $B$．若线段 $\mathit{AB}$上的所有点都是 $\odot C$的关联点，直接写出圆心 $C$的横坐标的取值范围．