初中数学直线与圆的位置关系试题

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$为直径， $\mathit{AC}$为弦．过 $\mathit{BC}$延长线上一点 $G$，作 $\mathit{GD}\perp \mathit{AO}$于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$，交 $\odot O$于点 $F$， $M$是 $\mathit{GE}$的中点，连接 $\mathit{CF}$， $\mathit{CM}$．

（1）判断 $\mathit{CM}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\angle \mathit{ECF}=2\angle A$， $\mathit{CM}=6$， $\mathit{CF}=4$，求 $\mathit{MF}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $O$在 $\mathit{AC}$上，以 $\mathit{OA}$为半径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $\mathit{BD}$的垂直平分线交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交 $\mathit{BD}$于点 $F$，连接 $\mathit{DE}$．

（1）判断直线 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=8$， $\mathit{OA}=2$，求线段 $\mathit{DE}$的长．

我们把方程 ${(x-m)}^2+{(y-n)}^2=r^2$ 称为圆心为 $(m,n)$ 、半径长为 $r$ 的圆的标准方程．例如，圆心为 $(1,-2)$ 、半径长为3的圆的标准方程是 ${(x-1)}^2+{(y+2)}^2=9$ ．在平面直角坐标系中， $\odot C$ 与轴交于点 $A$ ， $B$ ，且点 $B$ 的坐标为 $(8,0)$ ，与 $y$ 轴相切于点 $D(0,4)$ ，过点 $A$ ， $B$ ， $D$ 的抛物线的顶点为 $E$ ．

（1）求 $\odot C$ 的标准方程；

（2）试判断直线 $\mathit{AE}$ 与 $\odot C$ 的位置关系，并说明理由．

如图，点 $A$的坐标是 $(a$， $0\left)\right(a<0)$，点 $C$是以 $\mathit{OA}$为直径的 $\odot B$上一动点，点 $A$关于点 $C$的对称点为 $P$．当点 $C$在 $\odot B$上运动时，所有这样的点 $P$组成的图形与直线 $y=-\frac{1}{3}x-1$有且只有一个公共点，则 $a$的值等于　　．

已知直线 $y=\mathit{kx}(k\ne 0)$经过点 $(12,-5)$，将直线向上平移 $m(m>0)$个单位，若平移后得到的直线与半径为6的 $\odot O$相交（点 $O$为坐标原点），则 $m$的取值范围为　　．

如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心 $A$ 沿 $x$ 轴移动，当 $\odot A$ 与直线 $l:y=\frac{5}{12}x$ 只有一个公共点时，点 $A$ 的坐标为 $($ 　　 $)$

A．

$(-12,0)$

B．

$(-13,0)$

C．

$(\pm 12,0)$

D．

$(\pm 13,0)$

如图，已知 $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，点 $E$在 $\odot O$上， $\angle \mathit{EAB}$的平分线交 $\odot O$于点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{AE}$的垂线，垂足为 $D$，直线 $\mathit{DC}$与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $P$．

（1）判断直线 $\mathit{PC}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\tan \angle P=\frac{3}{4}$， $\mathit{AD}=6$，求线段 $\mathit{AE}$的长．

已知平面直角坐标系中，点 $P(x_0$， $y_0)$和直线 $\mathit{Ax}+\mathit{By}+C=0$（其中 $A$， $B$不全为 $0)$，则点 $P$到直线 $\mathit{Ax}+\mathit{By}+C=0$的距离 $d$可用公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$来计算．

例如：求点 $P(1,2)$到直线 $y=2x+1$的距离，因为直线 $y=2x+1$可化为 $2x-y+1=0$，其中 $A=2$， $B=-1$， $C=1$，所以点 $P(1,2)$到直线 $y=2x+1$的距离为： $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|2\times 1+(-1)\times 2+1|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点 $M(0,3)$到直线 $y=\sqrt{3}x+9$的距离；

（2）在（1）的条件下， $\odot M$的半径 $r=4$，判断 $\odot M$与直线 $y=\sqrt{3}x+9$的位置关系，若相交，设其弦长为 $n$，求 $n$的值；若不相交，说明理由．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{BC}$上一点，连接 $\mathit{AE}$，将矩形沿 $\mathit{AE}$翻折，使点 $B$落在 $\mathit{CD}$边 $F$处，连接 $\mathit{AF}$，在 $\mathit{AF}$上取点 $O$，以 $O$为圆心， $\mathit{OF}$长为半径作 $\odot O$与 $\mathit{AD}$相切于点 $P$．若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=3\sqrt{3}$，则下列结论：① $F$是 $\mathit{CD}$的中点；② $\odot O$的半径是2；③ $\mathit{AE}=\frac{9}{2}\mathit{CE}$；④ $S_{\mathit{阴影}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．其中正确结论的序号是　　．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=8$，点 $O$在对角线 $\mathit{AC}$上，圆 $O$的半径为2，如果圆 $O$与矩形 $\mathit{ABCD}$的各边都没有公共点，那么线段 $\mathit{AO}$长的取值范围是　　．

已知平面内有 $\odot O$ 和点 $A$ ， $B$ ，若 $\odot O$ 半径为 $2\mathit{cm}$ ，线段 $\mathit{OA}=3\mathit{cm}$ ， $\mathit{OB}=2\mathit{cm}$ ，则直线 $\mathit{AB}$ 与 $\odot O$ 的位置关系为 $($ 　　 $)$

A．

相离

B．

相交

C．

相切

D．

相交或相切

阅读材料：

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， 点 $P(x_0$， $y_0)$到直线 $\mathit{Ax}+\mathit{By}+C=0$的距离公式为： $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$．

例如： 求点 $P_0(0,0)$到直线 $4x+3y-3=0$的距离 ．

解： 由直线 $4x+3y-3=0$知， $A=4$， $B=3$， $C=-3$，

$\therefore$点 $P_0(0,0)$到直线 $4x+3y-3=0$的距离为 $d=\frac{|4\times 0+3\times 0-3|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{3}{5}$．

根据以上材料， 解决下列问题：

问题 1 ：点 $P_1(3,4)$到直线 $y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$的距离为　　；

问题 2 ：已知： $\odot C$是以点 $C(2,1)$为圆心， 1 为半径的圆， $\odot C$与直线 $y=-\frac{3}{4}x+b$相切， 求实数 $b$的值；

问题 3 ：如图， 设点 $P$为问题 2 中 $\odot C$上的任意一点， 点 $A$， $B$为直线 $3x+4y+5=0$上的两点， 且 $\mathit{AB}=2$，请求出 $S_{\mathit{\Delta ABP}}$的最大值和最小值 ．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 与 $\odot O$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且点 $A$ 在 $x$ 轴上，则弦 $\mathit{AB}$ 的长为 　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $G$是 $\mathit{BC}$的中点，过 $A$、 $D$、 $G$三点的圆 $O$与边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$分别交于点 $E$、点 $F$，给出下列说法：（1） $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的交点是圆 $O$的圆心；（2） $\mathit{AF}$与 $\mathit{DE}$的交点是圆 $O$的圆心；（3） $\mathit{BC}$与圆 $O$相切，其中正确说法的个数是 $($　　 $)$

A．0B．1C．2D．3

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AD}$为 $\angle \mathit{BAC}$的平分线，以 $\mathit{AB}$上一点 $O$为圆心的半圆经过 $A$、 $D$两点，交 $\mathit{AB}$于 $E$，连接 $\mathit{OC}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）判断 $\mathit{BC}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{OF}:\mathit{FC}=2:3$， $\mathit{CD}=3$，求 $\mathit{BE}$的长．