初中数学切线的性质试题

已知：如图，在 $\mathit{\Delta OAB}$中， $\mathit{OA}=\mathit{OB}$， $\odot O$与 $\mathit{AB}$相切于点 $C$．求证： $\mathit{AC}=\mathit{BC}$．小明同学的证明过程如下框：

证明：连结 $\mathit{OC}$， $\because \mathit{OA}=\mathit{OB}$， $\therefore \angle A=\angle B$， 又 $\because \mathit{OC}=\mathit{OC}$， $\therefore \mathit{\Delta OAC}\cong \mathit{\Delta OBC}$， $\therefore \mathit{AC}=\mathit{BC}$．

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“ $\surd$”；若错误，请写出你的证明过程．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{BC}$与 $\odot O$相切于点 $B$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{OC}$．若 $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{1}{3}$，则 $\tan \angle \mathit{BOC}=$　　．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $C$， $D$是半圆 $O$上不同于 $A$， $B$的两点， $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $F$． $\mathit{BE}$是半圆 $O$所在圆的切线，与 $\mathit{AC}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta CBA}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{BF}$，求证： $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAB}$．

我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具 $--$三分角器．图1是它的示意图，其中 $\mathit{AB}$与半圆 $O$的直径 $\mathit{BC}$在同一直线上，且 $\mathit{AB}$的长度与半圆的半径相等； $\mathit{DB}$与 $\mathit{AC}$垂直于点 $B$， $\mathit{DB}$足够长．

使用方法如图2所示，若要把 $\angle \mathit{MEN}$三等分，只需适当放置三分角器，使 $\mathit{DB}$经过 $\angle \mathit{MEN}$的顶点 $E$，点 $A$落在边 $\mathit{EM}$上，半圆 $O$与另一边 $\mathit{EN}$恰好相切，切点为 $F$，则 $\mathit{EB}$， $\mathit{EO}$就把 $\angle \mathit{MEN}$三等分了．

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图2，点 $A$， $B$， $O$， $C$在同一直线上， $\mathit{EB}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $B$，　　．

求证：　　．

在 $\odot O$中，弦 $\mathit{CD}$与直径 $\mathit{AB}$相交于点 $P$， $\angle \mathit{ABC}=63°$．

（Ⅰ）如图①，若 $\angle \mathit{APC}=100°$，求 $\angle \mathit{BAD}$和 $\angle \mathit{CDB}$的大小；

（Ⅱ）如图②，若 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，过点 $D$作 $\odot O$的切线，与 $\mathit{AB}$的延长线相交于点 $E$，求 $\angle E$的大小．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线， $A$为切点，连接 $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$，若 $\angle B=20°$，则 $\angle \mathit{AOB}$的度数为 $($　　 $)$

A． $40°$B． $50°$C． $60°$D． $70°$

如图，四边形 $\mathit{OABC}$是平行四边形，以点 $O$为圆心， $\mathit{OC}$为半径的 $\odot O$与 $\mathit{AB}$相切于点 $B$，与 $\mathit{AO}$相交于点 $D$， $\mathit{AO}$的延长线交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{EB}$交 $\mathit{OC}$于点 $F$．求 $\angle C$和 $\angle E$的度数．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形， $\angle \mathit{BAC}=75°$， $\angle \mathit{ABC}=45°$．连接 $\mathit{AO}$并延长，交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$．过点 $C$作 $\odot O$的切线，与 $\mathit{BA}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AD}//\mathit{EC}$；

（2）若 $\mathit{AB}=12$，求线段 $\mathit{EC}$的长．

如图，等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=\sqrt{2}$，以点 $C$为圆心画弧与斜边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$，交 $\mathit{BC}$于点 $F$，则图中阴影部分的面积是 $($　　 $)$

A． $1-\frac{\pi }{4}$B． $\frac{\pi -1}{4}$C． $2-\frac{\pi }{4}$D． $1+\frac{\pi }{4}$

已知 $\angle \mathit{MPN}$的两边分别与 $\odot O$相切于点 $A$， $B$， $\odot O$的半径为 $r$．

（1）如图1，点 $C$在点 $A$， $B$之间的优弧上， $\angle \mathit{MPN}=80°$，求 $\angle \mathit{ACB}$的度数；

（2）如图2，点 $C$在圆上运动，当 $\mathit{PC}$最大时，要使四边形 $\mathit{APBC}$为菱形， $\angle \mathit{APB}$的度数应为多少？请说明理由；

（3）若 $\mathit{PC}$交 $\odot O$于点 $D$，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含 $r$的式子表示）．

如图1，平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}=10$，点 $P$在边 $\mathit{AD}$上运动，以 $P$为圆心， $\mathit{PA}$为半径的 $\odot P$与对角线 $\mathit{AC}$交于 $A$， $E$两点．

（1）如图2，当 $\odot P$与边 $\mathit{CD}$相切于点 $F$时，求 $\mathit{AP}$的长；

（2）不难发现，当 $\odot P$与边 $\mathit{CD}$相切时， $\odot P$与平行四边形 $\mathit{ABCD}$的边有三个公共点，随着 $\mathit{AP}$的变化， $\odot P$与平行四边形 $\mathit{ABCD}$的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的 $\mathit{AP}$的值的取值范围　　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\sin A=\frac{5}{13}$， $\mathit{AC}=12$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转 $90°$得到△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C$， $P$为线段 $A\text{'}{B}^{\text{'}}$上的动点， 以点 $P$为圆心， $\mathit{PA}\text{'}$长为半径作 $\odot P$，当 $\odot P$与 $\mathit{\Delta ABC}$的边相切时， $\odot P$的半径为　　．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$在 $\odot O$上， $\mathit{AD}$垂直于过点 $C$的切线，垂足为 $D$， $\mathit{CE}$垂直 $\mathit{AB}$，垂足为 $E$．延长 $\mathit{DA}$交 $\odot O$于点 $F$，连接 $\mathit{FC}$， $\mathit{FC}$与 $\mathit{AB}$相交于点 $G$，连接 $\mathit{OC}$．

（1）求证： $\mathit{CD}=\mathit{CE}$；

（2）若 $\mathit{AE}=\mathit{GE}$，求证： $\mathit{\Delta CEO}$是等腰直角三角形．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\mathit{AD}$和过点 $C$的切线互相垂直，垂足为 $D$，且交 $\odot O$于点 $E$．连接 $\mathit{OC}$， $\mathit{BE}$，相交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{EF}=\mathit{BF}$；

（2）若 $\mathit{DC}=4$， $\mathit{DE}=2$，求直径 $\mathit{AB}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=4$，以 $\mathit{CD}$为直径作 $\odot O$．将矩形 $\mathit{ABCD}$绕点 $C$

旋转，使所得矩形 $A\text{'}B\text{'}\mathit{CD}\text{'}$的边 $A\text{'}B\text{'}$与 $\odot O$相切，切点为 $E$，边 $\mathit{CD}\text{'}$与 $\odot O$相交于点

$F$，则 $\mathit{CF}$的长为　　．