初中数学切线的性质试题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$分别交于 $D$、 $E$两点，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AE}=4$， $\cos A=\frac{2}{5}$，求 $\mathit{DF}$的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\mathit{AD}$与过点 $C$的切线互相垂直，垂足为点 $D$， $\mathit{AD}$交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{CB}$．

（1）求证： $\mathit{CE}=\mathit{CB}$；

（2）若 $\mathit{AC}=2\sqrt{5}$， $\mathit{CE}=\sqrt{5}$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于圆， $\angle \mathit{ACB}=90°$，过点 $C$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $P$， $\angle P=28°$．则 $\angle \mathit{CAB}=($　　 $)$

A． $62°$B． $31°$C． $28°$D． $56°$

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\mathit{AD}$与过点 $C$的切线互相垂直，垂足为点 $D$， $\mathit{AD}$交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{CB}$．

（1）求证： $\mathit{CE}=\mathit{CB}$；

（2）若 $\mathit{AC}=2\sqrt{5}$， $\mathit{CE}=\sqrt{5}$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $O$在 $\mathit{AB}$上，经过点 $A$的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相切于点 $D$，交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$；

（2）若 $\mathit{CD}=1$，求图中阴影部分的面积（结果保留 $\pi )$．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $O$在 $\mathit{AB}$上，经过点 $A$的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相切于点 $D$，交 $\mathit{AB}$于点 $E$，若 $\mathit{CD}=\sqrt{2}$，则图中阴影部分面积为 $($　　 $)$

A． $4-\frac{\pi }{2}$B． $2-\frac{\pi }{2}$C． $2-\pi$D． $1-\frac{\pi }{4}$

如图， $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{BE}$是 $\odot O$的弦，且 $\mathit{BE}//\mathit{CD}$，过点 $C$的切线与 $\mathit{EB}$的延长线交于点 $P$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{BC}$平分 $\angle \mathit{ABP}$；

（2）求证： $P{C}^2=\mathit{PB}·\mathit{PE}$；

（3）若 $\mathit{BE}-\mathit{BP}=\mathit{PC}=4$，求 $\odot O$的半径．

如图，已知 $\mathit{BF}$是 $\odot O$的直径， $A$为 $\odot O$上（异于 $B$、 $F)$一点， $\odot O$的切线 $\mathit{MA}$与 $\mathit{FB}$的延长线交于点 $M$； $P$为 $\mathit{AM}$上一点， $\mathit{PB}$的延长线交 $\odot O$于点 $C$， $D$为 $\mathit{BC}$上一点且 $\mathit{PA}=\mathit{PD}$， $\mathit{AD}$的延长线交 $\odot O$于点 $E$．

（1）求证： $\stackrel{̂}{\mathit{BE}}=\stackrel{̂}{\mathit{CE}}$；

（2）若 $\mathit{ED}$、 $\mathit{EA}$的长是一元二次方程 $x^2-5x+5=0$的两根，求 $\mathit{BE}$的长；

（3）若 $\mathit{MA}=6\sqrt{2}$， $\sin \angle \mathit{AMF}=\frac{1}{3}$，求 $\mathit{AB}$的长．

如图，点 $P$为 $\odot O$外一点，过点 $P$作 $\odot O$的切线 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$，点 $A$、 $B$为切点，连接 $\mathit{AO}$并延长交 $\mathit{PB}$的延长线于点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp \mathit{PO}$，交 $\mathit{PO}$的延长线于点 $D$．已知 $\mathit{PA}=6$， $\mathit{AC}=8$，则 $\mathit{CD}$的长为　 　．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $D$在 $\odot O$上， $\mathit{AD}$的延长线与过点 $B$的切线交于点 $C$， $E$为线段 $\mathit{AD}$上的点，过点 $E$的弦 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$于点 $H$．

（1）求证： $\angle C=\angle \mathit{AGD}$；

（2）已知 $\mathit{BC}=6$， $\mathit{CD}=4$，且 $\mathit{CE}=2\mathit{AE}$，求 $\mathit{EF}$的长．

（材料阅读）

地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的 $\odot O\mathrm{）}$．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角 $\alpha$的大小是变化的．

（实际应用）

观测点 $A$在图1所示的 $\odot O$上，现在利用这个工具尺在点 $A$处测得 $\alpha$为 $31°$，在点 $A$所在子午线往北的另一个观测点 $B$，用同样的工具尺测得 $\alpha$为 $67°$． $\mathit{PQ}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PQ}\perp \mathit{ON}$．

（1）求 $\angle \mathit{POB}$的度数；

（2）已知 $\mathit{OP}=6400\mathit{km}$，求这两个观测点之间的距离即 $\odot O$上 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的长． $(\pi$取 $3.1)$

如图， $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线，切点为 $A$， $\mathit{PO}$的延长线交 $\odot O$于点 $B$，若 $\angle P=40°$，则 $\angle B$的度数为 $($　　 $)$

A． $20°$B． $25°$C． $40°$D． $50°$

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\mathit{AD}$和过点 $C$的切线互相垂直，垂足为 $D$．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{CAB}$；

（2）若 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=\frac{2}{3}$， $\mathit{AC}=2\sqrt{6}$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的切线，切点为 $A$，连接 $\mathit{AO}$、 $\mathit{BO}$， $\mathit{BO}$与 $\odot O$交于点 $C$，延长 $\mathit{BO}$与 $\odot O$交于点 $D$，连接 $\mathit{AD}$．若 $\angle \mathit{ABO}=36°$，则 $\angle \mathit{ADC}$的度数为 $($　　 $)$

A． $54°$B． $36°$C． $32°$D． $27°$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=3$，以点 $C$为圆心作 $\odot C$与直线 $\mathit{BD}$相切，点 $P$是 $\odot C$上一个动点，连接 $\mathit{AP}$交 $\mathit{BD}$于点 $T$，则 $\frac{\mathit{AP}}{\mathit{AT}}$的最大值是　   　．