初中数学切线的性质解答题

如图， $C$、 $D$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上的点， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$，弦 $\mathit{CD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）当 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线时，求证： $\angle \mathit{PBD}=\angle \mathit{DAB}$；

（2）求证： $B{C}^2-C{E}^2=\mathit{CE}·\mathit{DE}$；

（3）已知 $\mathit{OA}=4$， $E$是半径 $\mathit{OA}$的中点，求线段 $\mathit{DE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $C$， $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$分别交 $\odot O$于点 $D$， $E$， $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}=\stackrel{̂}{\mathit{CE}}$

（1）求证： $\mathit{OA}=\mathit{OB}$；

（2）已知 $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$， $\mathit{OA}=4$，求阴影部分的面积．

如图所示， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $P$为 $\mathit{AB}$延长线上的一点， $\mathit{PC}$切 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{AD}\perp \mathit{PC}$，垂足为 $D$，弦 $\mathit{CE}$平分 $\angle \mathit{ACB}$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）求证： $\angle \mathit{CAB}=\angle \mathit{CAD}$；

（2）求证： $\mathit{PC}=\mathit{PF}$；

（3）若 $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{3}{2}$， $\mathit{AE}=5\sqrt{2}$，求线段 $\mathit{PC}$的长．

如图，动点 $M$在以 $O$为圆心， $\mathit{AB}$为直径的半圆弧上运动（点 $M$不与点 $A$、 $B$及 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的中点 $F$重合），连接 $\mathit{OM}$．过点 $M$作 $\mathit{ME}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，以 $\mathit{BE}$为边在半圆同侧作正方形 $\mathit{BCDE}$，过点 $M$作 $\odot O$的切线交射线 $\mathit{DC}$于点 $N$，连接 $\mathit{BM}$、 $\mathit{BN}$．

（1）探究：如图一，当动点 $M$在 $\stackrel{̂}{\mathit{AF}}$上运动时；

①判断 $\mathit{\Delta OEM}\backsim \mathit{\Delta MDN}$是否成立？请说明理由；

②设 $\frac{\mathit{ME}+\mathit{NC}}{\mathit{MN}}=k$， $k$是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

③设 $\angle \mathit{MBN}=\alpha$， $\alpha$是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

（2）拓展：如图二，当动点 $M$在 $\stackrel{̂}{\mathit{FB}}$上运动时；

分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论．（均不必说明理由）

如图所示，直线 $\mathit{DP}$和圆 $O$相切于点 $C$，交直径 $\mathit{AE}$的延长线于点 $P$．过点 $C$作 $\mathit{AE}$的垂线，交 $\mathit{AE}$于点 $F$，交圆 $O$于点 $B$．作平行四边形 $\mathit{ABCD}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DO}$， $\mathit{CO}$．

（1）求证： $\mathit{DA}=\mathit{DC}$；

（2）求 $\angle P$及 $\angle \mathit{AEB}$的大小．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦， $\mathit{BC}$切 $\odot O$于点 $B$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $D$， $\mathit{OA}$是 $\odot O$的半径，且 $\mathit{OA}=3$．

（1）求证： $\mathit{AB}$平分 $\angle \mathit{OAD}$；

（2）若点 $E$是优弧 $\stackrel{̂}{\mathit{AEB}}$上一点，且 $\angle \mathit{AEB}=60°$，求扇形 $\mathit{OAB}$的面积．（计算结果保留 $\pi )$

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{CD}$与 $\odot O$相切于 $C$， $\mathit{BE}//\mathit{CO}$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\angle \mathit{ABE}$的平分线；

（2）若 $\mathit{DC}=8$， $\odot O$的半径 $\mathit{OA}=6$，求 $\mathit{CE}$的长．

如图，在三角形 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=5$，以 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $G$，直线 $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线， $D$为切点，交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$；

（2）求 $\tan \angle E$的值．

如图， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线， $A$、 $B$为切点， $\angle \mathit{APB}=60°$，连接 $\mathit{PO}$并延长与 $\odot O$交于 $C$点，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ACBP}$是菱形；

（2）若 $\odot O$半径为1，求菱形 $\mathit{ACBP}$的面积．

如图，已知直线 $\mathit{PT}$与 $\odot O$相切于点 $T$，直线 $\mathit{PO}$与 $\odot O$相交于 $A$， $B$两点．

（1）求证： $P{T}^2=\mathit{PA}·\mathit{PB}$；

（2）若 $\mathit{PT}=\mathit{TB}=\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

如图，已知 $\odot A$的圆心为点 $(3,0)$，抛物线 $y=a{x}^2-\frac{37}{6}x+c$过点 $A$，与 $\odot A$交于 $B$、 $C$两点，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$，且 $\mathit{AB}\perp \mathit{AC}$， $B$、 $C$两点的纵坐标分别是2、1．

（1）请直接写出点 $B$的坐标，并求 $a$、 $c$的值；

（2）直线 $y=\mathit{kx}+1$经过点 $B$，与 $x$轴交于点 $D$．点 $E$（与点 $D$不重合）在该直线上，且 $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，请判断点 $E$是否在此抛物线上，并说明理由；

（3）如果直线 $y=k_{1}x-1$与 $\odot A$相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$是上半圆的弦，过点 $C$作 $\odot O$的切线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，过点 $A$作切线 $\mathit{DE}$的垂线，垂足为 $D$，且与 $\odot O$交于点 $F$，设 $\angle \mathit{DAC}$， $\angle \mathit{CEA}$的度数分别是 $\alpha$， $\beta$．

（1）用含 $\alpha$的代数式表示 $\beta$，并直接写出 $\alpha$的取值范围；

（2）连接 $\mathit{OF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $O\text{'}$，当点 $O\text{'}$是 $\mathit{AC}$的中点时，求 $\alpha$， $\beta$的值．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于圆 $O$， $\angle \mathit{BAD}=90°$， $\mathit{AC}$为直径，过点 $A$作圆 $O$的切线交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $E$，过 $\mathit{AC}$的三等分点 $F$（靠近点 $C)$作 $\mathit{CE}$的平行线交 $\mathit{AB}$于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{CD}$；

（2）求证： $C{D}^2=\mathit{BE}\cdot \mathit{BC}$；

（3）当 $\mathit{CG}=\sqrt{3}$， $\mathit{BE}=\frac{9}{2}$时，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，以 $\mathit{AB}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $\angle \mathit{DAC}=\angle B$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）点 $E$是 $\mathit{AB}$上一点，若 $\angle \mathit{BCE}=\angle B$， $\tan \angle B=\frac{1}{2}$， $\odot O$的半径是4，求 $\mathit{EC}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot M$的直径， $\mathit{BC}$是 $\odot M$的切线，切点为 $B$， $C$是 $\mathit{BC}$上（除 $B$点外）的任意一点，连接 $\mathit{CM}$交 $\odot M$于点 $G$，过点 $C$作 $C\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BG}$的延长线于点 $D$，连接 $\mathit{AG}$并延长交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\backsim \mathit{\Delta BCD}$；

（2）若 $\mathit{MB}=\mathit{BE}=1$，求 $\mathit{CD}$的长度．