初中数学作图—基本作图解答题

如图，点 $E$是平行四边形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$上一点，且 $\mathit{AE}=\mathit{AD}$．

（1）作出 $\angle \mathit{BAD}$的平分线，交 $\mathit{CD}$于点 $F$（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连接 $\mathit{EF}$，求证：四边形 $\mathit{ADFE}$是菱形．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}==2$， $\mathit{AD}=\sqrt{3}$， $P$是 $\mathit{BC}$边上的一点，且 $\mathit{BP}=2\mathit{CP}$．

（1）用尺规在图①中作出 $\mathit{CD}$边上的中点 $E$，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BE}$（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图②，在（1）的条件下，判断 $\mathit{EB}$是否平分 $\angle \mathit{AEC}$，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，连接 $\mathit{EP}$并延长交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{AP}$，不添加辅助线， $\mathit{\Delta PFB}$能否由都经过 $P$点的两次变换与 $\mathit{\Delta PAE}$组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=8$．

（1）利用尺规，作 $\angle \mathit{CAB}$的平分线，交 $\odot O$于点 $D$；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{OD}$，若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$，求 $\angle B$的度数；

（3）在（2）的条件下， $\mathit{OD}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，求由线段 $\mathit{ED}$， $\mathit{BE}$， $\widehat{\mathit{BD}}$所围成区域的面积．（其中 $\widehat{\mathit{BD}}$表示劣弧，结果保留 $\pi$和根号）

如图，已知等腰 $\mathit{\Delta ABC}$顶角 $\angle A=36°$．

（1）在 $\mathit{AC}$上作一点 $D$，使 $\mathit{AD}=\mathit{BD}$（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）；

（2）求证： $\mathit{\Delta BCD}$是等腰三角形．

已知： $\angle \mathit{AOB}$．

求作： $\angle A\text{'}O\text{'}B\text{'}$，使得 $\angle A\text{'}O\text{'}B\text{'}=\angle \mathit{AOB}$．

作法：

①以 $O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$于点 $C$， $D$；

②画一条射线 $O\text{'}A\text{'}$，以点 $O\text{'}$为圆心， $\mathit{OC}$长为半径画弧，交 $O\text{'}A\text{'}$于点 $C\text{'}$；

③以点 $C\text{'}$为圆心， $\mathit{CD}$长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 $D\text{'}$；

④过点 $D\text{'}$画射线 $O\text{'}B\text{'}$，则 $\angle A\text{'}O\text{'}B\text{'}=\angle \mathit{AOB}$．

根据上面的作法，完成以下问题：

（1）使用直尺和圆规，作出 $\angle A\text{'}O\text{'}B\text{'}$（请保留作图痕迹）．

（2）完成下面证明 $\angle A\text{'}O\text{'}B\text{'}=\angle \mathit{AOB}$的过程（注 $:$括号里填写推理的依据）．

证明：由作法可知 $O\text{'}C\text{'}=\mathit{OC}$， $O\text{'}D\text{'}=\mathit{OD}$， $D\text{'}C\text{'}=$　　，

$\therefore$△ $C\text{'}O\text{'}D\text{'}\cong \mathit{\Delta COD}($　　 $)$

$\therefore \angle A\text{'}O\text{'}B\text{'}=\angle \mathit{AOB}$． $($　　 $)$

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，点 $C$在 $\odot O$上．

（1）尺规作图：作 $\angle \mathit{BAC}$的平分线，与 $\odot O$交于点 $D$；连接 $\mathit{OD}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；

（2）探究 $\mathit{OE}$与 $\mathit{AC}$的位置及数量关系，并证明你的结论．

尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） $:$

已知线段 $a$和 $\angle \mathit{AOB}$，点 $M$在 $\mathit{OB}$上（如图所示）．

（1）在 $\mathit{OA}$边上作点 $P$，使 $\mathit{OP}=2a$；

（2）作 $\angle \mathit{AOB}$的平分线；

（3）过点 $M$作 $\mathit{OB}$的垂线．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，已知 $\mathit{AD}>\mathit{AB}$．

（1）实践与操作：作 $\angle \mathit{BAD}$的平分线交 $\mathit{BC}$于点 $E$，在 $\mathit{AD}$上截取 $\mathit{AF}=\mathit{AB}$，连接 $\mathit{EF}$；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）猜想并证明：猜想四边形 $\mathit{ABEF}$的形状，并给予证明．

如图，在Rt△ABC中， $\angle \mathit{ACB}＝90°$．

（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：

①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；

②过点D作AC的垂线，垂足为点E．

（2）在（1）作出的图形中，若 $\mathit{CB}＝4$， $\mathit{CA}＝6$，则DE＝　　．

在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：

已知：直线l和l外一点P．

求作：直线l的垂线，使它经过点P．

作法：如图：（1）在直线l上任取两点A、B；

（2）分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；

（3）作直线PQ．

参考以上材料作图的方法，解决以下问题：

（1）以上材料作图的依据是：　　

（2）已知，直线l和l外一点P，

求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

如图，在△ ABC中，点 D是 AB边上的一点．

（1）请用尺规作图法，在△ ABC内，求作∠ ADE，使∠ ADE＝∠ B， DE交 AC于 E；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{DB}}$ ＝2，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EC}}$ 的值．

如图， BD是菱形 ABCD的对角线，∠ CBD＝75°，

（1）请用尺规作图法，作 AB的垂直平分线 EF，垂足为 E，交 AD于 F；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接 BF，求∠ DBF的度数．

如图，在四边形 ABCD中，∠ B＝∠ C＝90°， AB＞ CD， AD＝ AB+ CD．

（1）利用尺规作∠ ADC的平分线 DE，交 BC于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，

①证明： AE⊥ DE；

②若 CD＝2， AB＝4，点 M， N分别是 AE， AB上的动点，求 BM+ MN的最小值．

如图，在△ ABC中， BD、 CE分别是 AC、 AB上的中线， BD与 CE相交于点 O．

（1）利用尺规作图取线段 CO的中点．（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）猜想 CO与 OE的长度有什么关系，并说明理由．

已知： AC是▱ ABCD的对角线．

（1）用直尺和圆规作出线段 AC的垂直平分线，与 AD相交于点 E，连接 CE．（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，若 AB＝3， BC＝5，求△ DCE的周长．