初中数学作图—基本作图解答题

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为平行四边形，连接 $\mathit{AC}$ ，且 $\mathit{AC}=2\mathit{AB}$ ．请用尺规完成基本作图：作出 $\angle \mathit{BAC}$ 的角平分线与 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ．连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $O$ ，猜想线段 $\mathit{BF}$ 和线段 $\mathit{DF}$ 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， AB $>$ AD．

（1）用尺规完成以下基本作图：在 AB上截取 AE，使得 AE= AD；作∠ BCD的平分线交 AB于点 F．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接 DE交 CF于点 P，猜想△ CDP按角分类的类型，并证明你的结论．

如图，已知直线 $l_1//l_2$ ，直线 $l_3$ 分别与 $l_1$ 、 $l_2$ 交于点 $A$ 、 $B$ ．请用尺规作图法，在线段 $\mathit{AB}$ 上求作一点 $P$ ，使点 $P$ 到 $l_1$ 、 $l_2$ 的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

如图， $\mathit{DB}$ 是 $▱\mathit{ABCD}$ 的对角线．

（1）尺规作图（请用 $2B$ 铅笔）：作线段 $\mathit{BD}$ 的垂直平分线 $\mathit{EF}$ ，交 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{DB}$ ， $\mathit{DC}$ 分别于 $E$ ， $O$ ， $F$ ，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{BF}$ （保留作图痕迹，不写作法）．

（2）试判断四边形 $\mathit{DEBF}$ 的形状并说明理由．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，点 $D$ 是斜边 $\mathit{AB}$ 上一点，且 $\mathit{AC}=\mathit{AD}$ ．

（1）作 $\angle \mathit{BAC}$ 的平分线，交 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接 $\mathit{DE}$ ，求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ．

如图，已知锐角 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作 $\angle \mathit{ACB}$ 的平分线 $\mathit{CD}$ ；作 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆 $\odot O$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{AB}=\frac{48}{5}$ ， $\odot O$ 的半径为5，则 $\sin B=$ 　　．（如需画草图，请使用图 $2)$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=40°$， $\angle C=50°$．

（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线 $\mathit{DF}$是线段 $\mathit{AB}$的 　　，射线 $\mathit{AE}$是 $\angle \mathit{DAC}$的 　　；

（2）在（1）所作的图中，求 $\angle \mathit{DAE}$的度数．

如图， $\mathit{BD}$为 $▱\mathit{ABCD}$的对角线．

（1）作对角线 $\mathit{BD}$的垂直平分线，分别交 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{BD}$于点 $E$， $F$， $O$（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，求证：四边形 $\mathit{BEDF}$为菱形．

（1）如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $P$为边 $\mathit{AB}$上一点，请用尺规作图的方法在边 $\mathit{AC}$上求作一点 $E$，使 $\mathit{AE}+\mathit{EP}=\mathit{AC}$．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在图中，如果 $\mathit{AC}=6\mathit{cm}$， $\mathit{AP}=3\mathit{cm}$，则 $\mathit{\Delta APE}$的周长是 　　 $\mathit{cm}$．

如图1，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标是 $(0,-2)$ ，在 $x$ 轴上任取一点 $M$ ，连接 $\mathit{AM}$ ，分别以点 $A$ 和点 $M$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AM}$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $G$ ， $H$ 两点，作直线 $\mathit{GH}$ ，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ 交直线 $\mathit{GH}$ 于点 $P$ ．根据以上操作，完成下列问题．

探究：

（1）线段 $\mathit{PA}$ 与 $\mathit{PM}$ 的数量关系为 　 　，其理由为： 　　．

（2）在 $x$ 轴上多次改变点 $M$ 的位置，按上述作图方法得到相应点 $P$ 的坐标，并完成下列表格：

$M$ 的坐标	$\dots$	$(-2,0)$	$(0,0)$	$(2,0)$	$(4,0)$	$\dots$
$P$ 的坐标	$\dots$		$(0,-1)$	$(2,-2)$		$\dots$

猜想：

（3）请根据上述表格中 $P$ 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线 $L$ ，猜想曲线 $L$ 的形状是 　　．

验证：

（4）设点 $P$ 的坐标是 $(x,y)$ ，根据图1中线段 $\mathit{PA}$ 与 $\mathit{PM}$ 的关系，求出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式．

应用：

（5）如图3，点 $B(-1,\sqrt{3})$ ， $C(1,\sqrt{3})$ ，点 $D$ 为曲线 $L$ 上任意一点，且 $\angle \mathit{BDC}<30°$ ，求点 $D$ 的纵坐标 $y_D$ 的取值范围．

如图，点 $P$是 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}$延长线上的一点 $(\mathit{PB}<\mathit{OB})$，点 $E$是线段 $\mathit{OP}$的中点．

（1）尺规作图：在直径 $\mathit{AB}$上方的圆上作一点 $C$，使得 $\mathit{EC}=\mathit{EP}$，连接 $\mathit{EC}$， $\mathit{PC}$（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明 $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{BP}=4$， $\mathit{EB}=1$，求 $\mathit{PC}$的长．

阅读与思考

如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

$\times$年 $\times$月 $\times$日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线 $\mathit{AB}$，现根据木板的情况，要过 $\mathit{AB}$上的一点 $C$，作出 $\mathit{AB}$的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在 $\mathit{AB}$上量出 $\mathit{CD}=30\mathit{cm}$，然后分别以 $D$， $C$为圆心，以 $50\mathit{cm}$与 $40\mathit{cm}$为半径画圆弧，两弧相交于点 $E$，作直线 $\mathit{CE}$，则 $\angle \mathit{DCE}$必为 $90°$． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 $M$， $N$两点，然后把木棒斜放在木板上，使点 $M$与点 $C$重合，用铅笔在木板上将点 $N$对应的位置标记为点 $Q$，保持点 $N$不动，将木棒绕点 $N$旋转，使点 $M$落在 $\mathit{AB}$上，在木板上将点 $M$对应的位置标记为点 $R$．然后将 $\mathit{RQ}$延长，在延长线上截取线段 $\mathit{QS}=\mathit{MN}$，得到点 $S$，作直线 $\mathit{SC}$，则 $\angle \mathit{RCS}=90°$． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ $\dots \dots$

任务：

（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　   　；

（2）根据“办法二”的操作过程，证明 $\angle \mathit{RCS}=90°$；

（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点 $C$作出 $\mathit{AB}$的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\mathit{AC}>\mathit{AB}$， $\angle C=45°$．请用尺规作图法，在 $\mathit{AC}$边上求作一点 $P$，使 $\angle \mathit{PBC}=45°$．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）

如图，已知 $\mathit{BD}$是矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段 $\mathit{BD}$的垂直平分线，分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$于 $E$、 $F$（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，问四边形 $\mathit{BEDF}$是什么四边形？请说明理由．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=90°$．

（1）请在图1中作出 $\mathit{BC}$边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图2，设 $\mathit{BC}$边上的中线为 $\mathit{AD}$，求证： $\mathit{BC}=2\mathit{AD}$．