初中数学轴对称图形试题

已知 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的任意一条直径．

（1）用图1，求证： $\odot O$ 是以直径 $\mathit{AB}$ 所在直线为对称轴的轴对称图形；

（2）已知 $\odot O$ 的面积为 $4\pi$ ，直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{CD}$ ，垂足为 $D$ ，如图2．

求证：① $\frac{1}{2}B{C}^2=2\mathit{BD}$ ；

②改变图2中切点 $C$ 的位置，使得线段 $\mathit{OD}\perp \mathit{BC}$ 时， $\mathit{OD}=2\sqrt{2}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，有抛物线 $y=a{(x-h)}^2$．抛物线 $y=a{(x-3)}^2+4$经过原点，与 $x$轴正半轴交于点 $A$，与其对称轴交于点 $B$， $P$是抛物线 $y=a{(x-3)}^2+4$上一点，且在 $x$轴上方，过点 $P$作 $x$轴的垂线交抛物线 $y=a{(x-h)}^2$于点 $Q$，过点 $Q$作 $\mathit{PQ}$的垂线交抛物线 $y=a{(x-h)}^2$于点 $Q\text{'}$（不与点 $Q$重合），连结 $\mathit{PQ}\text{'}$，设点 $P$的横坐标为 $m$．

（1）求 $a$的值；

（2）当抛物线 $y=a{(x-h)}^2$经过原点时，设 $\mathit{\Delta PQQ}\text{'}$与 $\mathit{\Delta OAB}$重叠部分图形的周长为 $l$．

①求 $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{QQ}\text{'}}$的值；

②求 $l$与 $m$之间的函数关系式；

（3）当 $h$为何值时，存在点 $P$，使以点 $O$， $A$， $Q$， $Q\text{'}$为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出 $h$的值．