初中数学轴对称-最短路线问题解答题

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(-3,0)$， $B(-2,3)$， $C(0,3)$，其顶点为 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $M(1,m)$，当 $\mathit{MB}+\mathit{MD}$的值最小时，求 $m$的值；

（3）若 $P$是抛物线上位于直线 $\mathit{AC}$上方的一个动点，求 $\mathit{\Delta APC}$的面积的最大值；

（4）若抛物线的对称轴与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $N$， $E$为直线 $\mathit{AC}$上任意一点，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{ND}$交抛物线于点 $F$，以 $N$， $D$， $E$， $F$为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 $E$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，抛物线的图象过点、、．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为1， $\angle \mathit{ABC}=60°$ ，点 $E$ 是边 $\mathit{AB}$ 上任意一点（端点除外），线段 $\mathit{CE}$ 的垂直平分线交 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{CE}$ 分别于点 $F$ ， $G$ ， $\mathit{AE}$ ， $\mathit{EF}$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{EF}$ ；

（2）求 $\mathit{MN}+\mathit{NG}$ 的最小值；

（3）当点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上运动时， $\angle \mathit{CEF}$ 的大小是否变化？为什么？

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点，连接 $\mathit{BD}$，点 $H$为 $\mathit{BD}$的中点．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）在 $y$轴上找一点 $P$，使 $\mathit{PD}+\mathit{PH}$的值最小，则 $\mathit{PD}+\mathit{PH}$的最小值为　　．

（注：抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{DF}$，过点 $E$作 $\mathit{EH}\perp \mathit{DF}$，垂足为 $H$， $\mathit{EH}$的延长线交 $\mathit{DC}$于点 $G$．

（1）猜想 $\mathit{DG}$与 $\mathit{CF}$的数量关系，并证明你的结论；

（2）过点 $H$作 $\mathit{MN}//\mathit{CD}$，分别交 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$于点 $M$， $N$，若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为10，点 $P$是 $\mathit{MN}$上一点，求 $\mathit{\Delta PDC}$周长的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{BC}$交 $x$轴于点 $D$， $\mathit{AD}\perp x$轴，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点 $A$，点 $D$的坐标为 $(3,0)$， $\mathit{AB}=\mathit{BD}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点 $P$为 $y$轴上一动点，当 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$的值最小时，求出点 $P$的坐标．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$、 $G$分别是边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AF}=\frac{1}{4}\mathit{AB}$．

（1）求证： $\mathit{EF}\perp \mathit{AG}$；

（2）若点 $F$、 $G$分别在射线 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$上同时向右、向上运动，点 $G$运动速度是点 $F$运动速度的2倍， $\mathit{EF}\perp \mathit{AG}$是否成立（只写结果，不需说明理由）？

（3）正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4， $P$是正方形 $\mathit{ABCD}$内一点，当 $S_{\mathit{\Delta PAB}}=S_{\mathit{\Delta OAB}}$，求 $\mathit{\Delta PAB}$周长的最小值．

如图，在平面直角坐标系中有三点 $(1,2)$， $(3,1)$， $(-2,-1)$，其中有两点同时在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象上，将这两点分别记为 $A$， $B$，另一点记为 $C$．

（1）求出 $k$的值；

（2）求直线 $\mathit{AB}$对应的一次函数的表达式；

（3）设点 $C$关于直线 $\mathit{AB}$的对称点为 $D$， $P$是 $x$轴上的一个动点，直接写出 $\mathit{PC}+\mathit{PD}$的最小值（不必说明理由）．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AO}\perp \mathit{BC}$于点 $O$， $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，以点 $O$为圆心， $\mathit{OE}$为半径作半圆，交 $\mathit{AO}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若点 $F$是 $\mathit{OA}$的中点， $\mathit{OE}=3$，求图中阴影部分的面积；

（3）在（2）的条件下，点 $P$是 $\mathit{BC}$边上的动点，当 $\mathit{PE}+\mathit{PF}$取最小值时，直接写出 $\mathit{BP}$的长．

在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形 $\mathit{ABC}$（顶点是网格线交点的三角形）的顶点 $A$、 $C$的坐标分别是 $(-4,6)$， $(-1,4)$．

（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；

（2）请画出 $\mathit{\Delta ABC}$关于 $x$轴对称的△ $A_1{B}_1{C}_1$；

（3）请在 $y$轴上求作一点 $P$，使△ $P{B}_{1}C$的周长最小，并写出点 $P$的坐标．

反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k$为常数，且 $k\ne 0)$的图象经过点 $A(1,3)$、 $B(3,m)$．

（1）求反比例函数的解析式及 $B$点的坐标；

（2）在 $x$轴上找一点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$的值最小，求满足条件的点 $P$的坐标．

如图1，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{DH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$， $\mathit{CD}$的垂直平分线交 $\mathit{CD}$于点 $E$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{DH}=4$， $\mathit{BF}:\mathit{FA}=1:5$．

（1）如图2，作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AD}$于点 $G$，交 $\mathit{DH}$于点 $M$，将 $\mathit{\Delta DGM}$沿 $\mathit{DC}$方向平移，得到△ $\mathit{CG}\text{'}M\text{'}$，连接 $M\text{'}B$．

①求四边形 $\mathit{BHMM}\text{'}$的面积；

②直线 $\mathit{EF}$上有一动点 $N$，求 $\mathit{\Delta DNM}$周长的最小值．

（2）如图3，延长 $\mathit{CB}$交 $\mathit{EF}$于点 $Q$，过点 $Q$作 $\mathit{QK}//\mathit{AB}$，过 $\mathit{CD}$边上的动点 $P$作 $\mathit{PK}//\mathit{EF}$，并与 $\mathit{QK}$交于点 $K$，将 $\mathit{\Delta PKQ}$沿直线 $\mathit{PQ}$翻折，使点 $K$的对应点 $K\text{'}$恰好落在直线 $\mathit{AB}$上，求线段 $\mathit{CP}$的长．

如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ ABC的三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，3）， B（﹣4，0）， C（0，0）

（1）画出将△ ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△ A ₁ B ₁ C ₁；

（2）画出将△ ABC绕原点 O顺时针方向旋转90°得到△ A ₂ B ₂ O；

（3）在 x轴上存在一点 P，满足点 P到 A ₁与点 A ₂距离之和最小，请直接写出 P点的坐标．

如图，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{mx}+3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $B$的坐标为 $(3,0)$

（1）求 $m$的值及抛物线的顶点坐标．

（2）点 $P$是抛物线对称轴 $l$上的一个动点，当 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小时，求点 $P$的坐标．

如图，在四边形 ABCD中，∠ B＝∠ C＝90°， AB＞ CD， AD＝ AB+ CD．

（1）利用尺规作∠ ADC的平分线 DE，交 BC于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，

①证明： AE⊥ DE；

②若 CD＝2， AB＝4，点 M， N分别是 AE， AB上的动点，求 BM+ MN的最小值．