初中数学坐标与图形变化-平移解答题

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点坐标分别是 $A(0,4)$， $B(0,2)$， $C(3,2)$．

（1）将 $\mathit{\Delta ABC}$以 $O$为旋转中心旋转 $180°$，画出旋转后对应的△ $A_1{B}_1{C}_1$；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$平移后得到△ $A_2{B}_2{C}_2$，若点 $A$的对应点 $A_2$的坐标为 $(2,2)$，求△ $A_1{C}_1{C}_2$的面积．

小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数 $y=\frac{x-2}{x}(x\ne 0)$的图象与性质进行探究．

因为 $y=\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}$，即 $y=-\frac{2}{x}+1$，所以可以对比函数 $y=-\frac{2}{x}$来探究．

列表：（1）下表列出 $y$与 $x$的几组对应值，请写出 $m$， $n$的值： $m=$　　， $n=$　　；

$x$	$\dots$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	$\dots$
$y=-\frac{2}{x}$	$\dots$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	1	2	4	$-4$	$-2$	$-1$	$-\frac{2}{3}$	$-\frac{1}{2}$	$\dots$
$y=\frac{x-2}{x}$	$\dots$	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{3}$	2	3	$m$	$-3$	$-1$	0	$n$	$\frac{1}{2}$	$\dots$

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$的取值为横坐标，以 $y=\frac{x-2}{x}$相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（2）请把 $y$轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；

（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当 $x<0$时， $y$随 $x$的增大而 　　；（填“增大”或“减小” $)$

②函数 $y=\frac{x-2}{x}$的图象是由 $y=-\frac{2}{x}$的图象向 　　平移 　　个单位而得到．

③函数图象关于点 　　中心对称．（填点的坐标）

如图，把函数 $y=x$的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数 $y=2x$的图象；也可以把函数 $y=x$的图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数 $y=2x$的图象．

类似地，我们可以认识其他函数．

（1）把函数 $y=\frac{1}{x}$的图象上各点的纵坐标变为原来的　　倍，横坐标不变，得到函数 $y=\frac{6}{x}$的图象；也可以把函数 $y=\frac{1}{x}$的图象上各点的横坐标变为原来的　　倍，纵坐标不变，得到函数 $y=\frac{6}{x}$的图象．

（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移 $\frac{1}{2}$个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．

（Ⅰ）函数 $y=x^2$的图象上所有的点经过④ $\to$② $\to$①，得到函数　　的图象；

（Ⅱ）为了得到函数 $y=-\frac{1}{4}{(x-1)}^2-2$的图象，可以把函数 $y=-x^2$的图象上所有的点　　．

$A$．① $\to$⑤ $\to$③ $B$．① $\to$⑥ $\to$③ $C$．① $\to$② $\to$⑥ $D$．① $\to$③ $\to$⑥

（3）函数 $y=\frac{1}{x}$的图象可以经过怎样的变化得到函数 $y=-\frac{2x+1}{2x+4}$的图象？（写出一种即可）

参照学习函数的过程与方法，探究函数 $y=\frac{x-2}{x}(x\ne 0)$的图象与性质．

因为 $y=\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}$，即 $y=-\frac{2}{x}+1$，所以我们对比函数 $y=-\frac{2}{x}$来探究．

列表：

$x$	$\dots$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	$\dots$
$y=-\frac{2}{x}$	$\dots$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	1	2	4	$-4$	$-2$	$-1$	$-\frac{2}{3}$	$-\frac{1}{2}$	$\dots$
$y=\frac{x-2}{x}$	$\dots$	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{3}$	2	3	5	$-3$	$-1$	0	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\dots$

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$的取值为横坐标，以 $y=\frac{x-2}{x}$相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（1）请把 $y$轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；

（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当 $x<0$时， $y$随 $x$的增大而　　；（填“增大”或“减小” $)$

② $y=\frac{x-2}{x}$的图象是由 $y=-\frac{2}{x}$的图象向　　平移　　个单位而得到；

③图象关于点　　中心对称．（填点的坐标）

（3）设 $A(x_1$， $y_1)$， $B(x_2$， $y_2)$是函数 $y=\frac{x-2}{x}$的图象上的两点，且 $x_1+x_2=0$，试求 $y_1+y_2+3$的值．

如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点叫做格点， $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点均在格点上．

（1）将 $\mathit{\Delta ABC}$先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△ $A_1{B}_1{C}_1$，画出平移后的△ $A_1{B}_1{C}_1$；

（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点 $A$的坐标为 $(-4,3)$；

（3）在（2）的条件下，直接写出点 $A_1$的坐标．

如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，1），C（﹣2，1）．

（1）请画出△ABC向右平移5个单位长度后得到的△A₁B₁C₁．

（2）请画出△A₁B₁C₁关于原点对称的△A₂B₂C₂．

（3）求四边形ABA₂B₂的面积．

已知反比例函数的图象经过点．

（1）求该函数的解析式；

（2）若将点沿轴负方向平移3个单位，再沿轴方向平移个单位得到点，使点恰好在该函数的图象上，求的值和点沿轴平移的方向．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A(-1,5)$ ， $B(-3,1)$ 和 $C(4,0)$ ，请按下列要求画图并填空．

（1）平移线段 $\mathit{AB}$ ，使点 $A$ 平移到点 $C$ ，画出平移后所得的线段 $\mathit{CD}$ ，并写出点 $D$ 的坐标为 　　；

（2）将线段 $\mathit{AB}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$ ，画出旋转后所得的线段 $\mathit{AE}$ ，并直接写出 $\cos \angle \mathit{BCE}$ 的值为 　　；

（3）在 $y$ 轴上找出点 $F$ ，使 $\mathit{\Delta ABF}$ 的周长最小，并直接写出点 $F$ 的坐标为 　　．

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点 $A(5,2)$、 $B(5,5)$、 $C(1,1)$均在格点上．

（1）将 $\mathit{\Delta ABC}$向左平移5个单位得到△ $A_1{B}_1{C}_1$，并写出点 $A_1$的坐标；

（2）画出△ $A_1{B}_1{C}_1$绕点 $C_1$顺时针旋转 $90°$后得到的△ $A_2{B}_2{C}_1$，并写出点 $A_2$的坐标；

（3）在（2）的条件下，求△ $A_1{B}_1{C}_1$在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $\pi )$．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $A(-1,2)$．

（1）将点 $A$向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点 $B$，则点 $B$的坐标是　　．

（2）点 $C$与点 $A$关于原点 $O$对称，则点 $C$的坐标是　　．

（3）反比例函数的图象经过点 $B$，则它的解析式是　　．

（4）一次函数的图象经过 $A$， $C$两点，则它的解析式是　　．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点分别是 $A(1,3)$， $B(4,4)$， $C(2,1)$．

（1）把 $\mathit{\Delta ABC}$向左平移4个单位后得到对应的△ $A_1{B}_1{C}_1$，请画出平移后的△ $A_1{B}_1{C}_1$；

（2）把 $\mathit{\Delta ABC}$绕原点 $O$旋转 $180°$后得到对应的△ $A_2{B}_2{C}_2$，请画出旋转后的△ $A_2{B}_2{C}_2$；

（3）观察图形可知，△ $A_1{B}_1{C}_1$与△ $A_2{B}_2{C}_2$关于点 $($　　，　　 $)$中心对称．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot O$的半径为1， $A$， $B$为 $\odot O$外两点， $\mathit{AB}=1$．

给出如下定义：平移线段 $\mathit{AB}$，得到 $\odot O$的弦 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}(A^{\text{'}}$， $B\text{'}$分别为点 $A$， $B$的对应点），线段 $A{A}^{\text{'}}$长度的最小值称为线段 $\mathit{AB}$到 $\odot O$的“平移距离”．

（1）如图，平移线段 $\mathit{AB}$得到 $\odot O$的长度为1的弦 $P_1{P}_2$和 $P_3{P}_4$，则这两条弦的位置关系是　 $P_1{P}_2//P_3{P}_4$　；在点 $P_1$， $P_2$， $P_3$， $P_4$中，连接点 $A$与点　　的线段的长度等于线段 $\mathit{AB}$到 $\odot O$的“平移距离”；

（2）若点 $A$， $B$都在直线 $y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$上，记线段 $\mathit{AB}$到 $\odot O$的“平移距离”为 $d_1$，求 $d_1$的最小值；

（3）若点 $A$的坐标为 $(2,\frac{3}{2})$，记线段 $\mathit{AB}$到 $\odot O$的“平移距离”为 $d_2$，直接写出 $d_2$的取值范围．