初中数学旋转的性质解答题

在四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{AB}$边上的一点，点 $F$为对角线 $\mathit{BD}$上的一点，且 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$．

（1）若四边形 $\mathit{ABCD}$为正方形．

①如图1，请直接写出 $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$的数量关系　 $\mathit{DF}=\sqrt{2}\mathit{AE}$　；

②将 $\mathit{\Delta EBF}$绕点 $B$逆时针旋转到图2所示的位置，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DF}$，猜想 $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$的数量关系并说明理由；

（2）如图3，若四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形， $\mathit{BC}=\mathit{mAB}$，其它条件都不变，将 $\mathit{\Delta EBF}$绕点 $B$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$得到△ $E^{\text{'}}B{F}^{\text{'}}$，连接 $A{E}^{\text{'}}$， $D{F}^{\text{'}}$，请在图3中画出草图，并直接写出 $A{E}^{\text{'}}$与 $D{F}^{\text{'}}$的数量关系．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle A=30°$，点 $O$为 $\mathit{AB}$中点，点 $P$为直线 $\mathit{BC}$上的动点（不与点 $B$、点 $C$重合），连接 $\mathit{OC}$、 $\mathit{OP}$，将线段 $\mathit{OP}$绕点 $P$顺时针旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{PQ}$，连接 $\mathit{BQ}$．

（1）如图1，当点 $P$在线段 $\mathit{BC}$上时，请直接写出线段 $\mathit{BQ}$与 $\mathit{CP}$的数量关系．

（2）如图2，当点 $P$在 $\mathit{CB}$延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，当点 $P$在 $\mathit{BC}$延长线上时，若 $\angle \mathit{BPO}=15°$， $\mathit{BP}=4$，请求出 $\mathit{BQ}$的长

如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$边上， $\mathit{DC}=\mathit{EC}$，连接 $\mathit{DE}$、 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BD}$，点 $M$、 $N$、 $P$分别是 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{PM}$、 $\mathit{PN}$、 $\mathit{MN}$．

（1） $\mathit{BE}$与 $\mathit{MN}$的数量关系是　　；

（2）将 $\mathit{\Delta DEC}$绕点 $C$逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）若 $\mathit{CB}=6$， $\mathit{CE}=2$，在将图1中的 $\mathit{\Delta DEC}$绕点 $C$逆时针旋转一周的过程中，当 $B$、 $E$、 $D$三点在一条直线上时， $\mathit{MN}$的长度为　　．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$均为等边三角形，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{CD}$，点 $F$， $G$， $H$分别为 $\mathit{DE}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CD}$中点．

（1）当 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$旋转时，如图1，则 $\mathit{\Delta FGH}$的形状为　　，说明理由；

（2）在 $\mathit{\Delta ADE}$旋转的过程中，当 $B$， $D$， $E$三点共线时，如图2，若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=2$，求线段 $\mathit{FH}$的长；

（3）在 $\mathit{\Delta ADE}$旋转的过程中，若 $\mathit{AB}=a$， $\mathit{AD}=b(a>b>0)$，则 $\mathit{\Delta FGH}$的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\mathit{OC}=\mathit{OA}+\mathit{AB}$， $\mathit{AD}=m$， $\mathit{BC}=n$， $\angle \mathit{ABD}+\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{ACB}$．

（1）填空： $\angle \mathit{BAD}$与 $\angle \mathit{ACB}$的数量关系为　 $\angle \mathit{BAD}+\angle \mathit{ACB}=180°$　；

（2）求 $\frac{m}{n}$的值；

（3）将 $\mathit{\Delta ACD}$沿 $\mathit{CD}$翻折，得到△ $A\text{'}\mathit{CD}$（如图 $2)$，连接 $\mathit{BA}\text{'}$，与 $\mathit{CD}$相交于点 $P$．若 $\mathit{CD}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，求 $\mathit{PC}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上（点 $D$与点 $A$， $C$不重合），且 $\angle \mathit{DEC}=\angle A$，将 $\mathit{\Delta DCE}$绕点 $D$逆时针旋转 $90°$得到△ $\mathit{DC}\text{'}E\text{'}$．当△ $\mathit{DC}\text{'}E\text{'}$的斜边、直角边与 $\mathit{AB}$分别相交于点 $P$， $Q$（点 $P$与点 $Q$不重合）时，设 $\mathit{CD}=x$， $\mathit{PQ}=y$．

（1）求证： $\angle \mathit{ADP}=\angle \mathit{DEC}$；

（2）求 $y$关于 $x$的函数解析式，并直接写出自变量 $x$的取值范围．

如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle B=30°$，点 $M$是 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{MC}$，点 $P$是线段 $\mathit{BC}$延长线上一点，且 $\mathit{PC}<\mathit{BC}$，连接 $\mathit{MP}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$．将射线 $\mathit{MP}$绕点 $M$逆时针旋转 $60°$交线段 $\mathit{CA}$的延长线于点 $D$．

（1）找出与 $\angle \mathit{AMP}$相等的角，并说明理由．

（2）如图2， $\mathit{CP}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{BC}}$的值．

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{MD}=\frac{\sqrt{13}}{3}$，求线段 $\mathit{AB}$的长．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\angle \mathit{ACB}=30°$ ，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $C$ 顺时针旋转一定的角度 $\alpha$ 得到 $\mathit{\Delta DEC}$ ，点 $A$ 、 $B$ 的对应点分别是 $D$ 、 $E$ ．

（1）当点 $E$ 恰好在 $\mathit{AC}$ 上时，如图1，求 $\angle \mathit{ADE}$ 的大小；

（2）若 $\alpha =60°$ 时，点 $F$ 是边 $\mathit{AC}$ 中点，如图2，求证：四边形 $\mathit{BEDF}$ 是平行四边形．

我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表．

图形的变化	示例图形	与对应线段有关的结论	与对应点有关的结论
平移		（1）	$\mathit{AA}\text{'}=\mathit{BB}\text{'}$ $\mathit{AA}\text{'}//\mathit{BB}\text{'}$
轴对称		（2）	（3）
旋转		$\mathit{AB}=A\text{'}B\text{'}$；对应线段 $\mathit{AB}$和 $A\text{'}B\text{'}$所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补．	（4）

思维启迪：

（1）如图1， $A$， $B$两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量 $A$， $B$间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达 $B$点的点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，取 $\mathit{BC}$的中点 $P$（点 $P$可以直接到达 $A$点），利用工具过点 $C$作 $\mathit{CD}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AP}$的延长线于点 $D$，此时测得 $\mathit{CD}=200$米，那么 $A$， $B$间的距离是　200　米．

思维探索：

（2）在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\mathit{AE}=\mathit{DE}$，且 $\mathit{AE}<\mathit{AC}$， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=90°$，将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$顺时针方向旋转，把点 $E$在 $\mathit{AC}$边上时 $\mathit{\Delta ADE}$的位置作为起始位置（此时点 $B$和点 $D$位于 $\mathit{AC}$的两侧），设旋转角为 $\alpha$，连接 $\mathit{BD}$，点 $P$是线段 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{PC}$， $\mathit{PE}$．

①如图2，当 $\mathit{\Delta ADE}$在起始位置时，猜想： $\mathit{PC}$与 $\mathit{PE}$的数量关系和位置关系分别是　　；

②如图3，当 $\alpha =90°$时，点 $D$落在 $\mathit{AB}$边上，请判断 $\mathit{PC}$与 $\mathit{PE}$的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

③当 $\alpha =150°$时，若 $\mathit{BC}=3$， $\mathit{DE}=1$，请直接写出 $P{C}^2$的值．

如图1， $\mathit{\Delta ABC}(\frac{1}{2}\mathit{AC}<\mathit{BC}<\mathit{AC})$绕点 $C$顺时针旋转得 $\mathit{\Delta DEC}$，射线 $\mathit{AB}$交射线 $\mathit{DE}$于点 $F$．

（1） $\angle \mathit{AFD}$与 $\angle \mathit{BCE}$的关系是　　；

（2）如图2，当旋转角为 $60°$时，点 $D$，点 $B$与线段 $\mathit{AC}$的中点 $O$恰好在同一直线上，延长 $\mathit{DO}$至点 $G$，使 $\mathit{OG}=\mathit{OD}$，连接 $\mathit{GC}$．

① $\angle \mathit{AFD}$与 $\angle \mathit{GCD}$的关系是　　，请说明理由；

②如图3，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{BE}$，若 $\angle \mathit{ACB}=45°$， $\mathit{CE}=4$，求线段 $\mathit{AE}$的长度．

如图，点 $E$， $F$分别在正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{DE}=\mathit{CF}$，点 $P$在射线 $\mathit{BC}$上（点 $P$不与点 $F$重合）．将线段 $\mathit{EP}$绕点 $E$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{EG}$，过点 $E$作 $\mathit{GD}$的垂线 $\mathit{QH}$，垂足为点 $H$，交射线 $\mathit{BC}$于点 $Q$．

（1）如图1，若点 $E$是 $\mathit{CD}$的中点，点 $P$在线段 $\mathit{BF}$上，线段 $\mathit{BP}$， $\mathit{QC}$， $\mathit{EC}$的数量关系为　　．

（2）如图2，若点 $E$不是 $\mathit{CD}$的中点，点 $P$在线段 $\mathit{BF}$上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为6， $\mathit{AB}=3\mathit{DE}$， $\mathit{QC}=1$，请直接写出线段 $\mathit{BP}$的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形，连接 $\mathit{AC}$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转 $\alpha$得 $\mathit{\Delta AEF}$，连接 $\mathit{CF}$， $O$为 $\mathit{CF}$的中点，连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OD}$．

（1）如图1，当 $\alpha =45°$时，请直接写出 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OD}$的关系（不用证明）．

（2）如图2，当 $45°<\alpha <90°$时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）当 $\alpha =360°$时，若 $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$，请直接写出点 $O$经过的路径长．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BCA}=90°$， $\angle A<\angle \mathit{ABC}$， $D$是 $\mathit{AC}$边上一点，且 $\mathit{DA}=\mathit{DB}$， $O$是 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{CE}$是 $\mathit{\Delta BCD}$的中线．

（1）如图 $a$，连接 $\mathit{OC}$，请直接写出 $\angle \mathit{OCE}$和 $\angle \mathit{OAC}$的数量关系：　    ；

（2）点 $M$是射线 $\mathit{EC}$上的一个动点，将射线 $\mathit{OM}$绕点 $O$逆时针旋转得射线 $\mathit{ON}$，使 $\angle \mathit{MON}=\angle \mathit{ADB}$， $\mathit{ON}$与射线 $\mathit{CA}$交于点 $N$．

①如图 $b$，猜想并证明线段 $\mathit{OM}$和线段 $\mathit{ON}$之间的数量关系；

②若 $\angle \mathit{BAC}=30°$， $\mathit{BC}=m$，当 $\angle \mathit{AON}=15°$时，请直接写出线段 $\mathit{ME}$的长度（用含 $m$的代数式表示）．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta CDE}$是等边三角形，连接 $\mathit{AD}$，取 $\mathit{AD}$的中点 $P$，连接 $\mathit{BP}$并延长至点 $M$，使 $\mathit{PM}=\mathit{BP}$，连接 $\mathit{AM}$， $\mathit{EM}$， $\mathit{AE}$，将 $\mathit{\Delta CDE}$绕点 $C$顺时针旋转．

（1）如图1，当点 $D$在 $\mathit{BC}$上，点 $E$在 $\mathit{AC}$上时，则 $\mathit{\Delta AEM}$的形状为　　；

（2）将 $\mathit{\Delta CDE}$绕点 $C$顺时针旋转至图2的位置，请判断 $\mathit{\Delta AEM}$的形状，并说明理由；

（3）若 $\mathit{CD}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$，将 $\mathit{\Delta CDE}$由图1位置绕点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°⩽\alpha <360°)$，当 $\mathit{ME}=\sqrt{3}\mathit{CD}$时，请直接写出 $\alpha$的值．