初中数学旋转的性质试题

如图，点 $A$ 的坐标是 $(-2,0)$ ，点 $B$ 的坐标是 $(0,6)$ ， $C$ 为 $\mathit{OB}$ 的中点，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90°$ 后得到△ $A\text{'}\mathit{BC}\text{'}$ ．若反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象恰好经过 $A\text{'}B$ 的中点 $D$ ，则 $k$ 的值是 $($ 　　 $)$

A．

9

B．

12

C．

15

D．

18

小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

（一猜测探究

在中，，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．

（1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是　　，与的数量关系是　　；

（2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

（二拓展应用

如图3，在△中，，，，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段长度的最小值．

如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．

（1）如图1，连接，，的延长线交于点，交于点，求证：；

（2）如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．

如图1，在中，，，，点、分别是边、的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．

（1）问题发现

①当时，　　；

②当时，　　．

（2）拓展探究

试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长．

（1）如图1，是正方形边上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．

①线段和的数量关系是　　；

②写出线段，和之间的数量关系．

（2）当四边形为菱形，，点是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．

①如图2，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，，直接写出线段的长度．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是边长为5的正方形， $E$ 是 $\mathit{DC}$ 上一点， $\mathit{DE}=1$ ，将 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转到与 $\mathit{\Delta ABF}$ 重合，则 $\mathit{EF}=($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{41}$

B．

$\sqrt{42}$

C．

$5\sqrt{2}$

D．

$2\sqrt{13}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{BC}=3.6$ ， $\angle B=60°$ ，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到 $\mathit{\Delta ADE}$ ，当点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $\mathit{BC}$ 边上时，则 $\mathit{CD}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

1.6

B．

1.8

C．

2

D．

2.6

如图，、都是等腰直角三角形，，，，．将绕点逆时针方向旋转后得△，当点恰好落在线段上时，则　　．

如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta AOC}$ 中， $\mathit{OA}=3\mathit{cm}$ ， $\mathit{OC}=1\mathit{cm}$ ，将 $\mathit{\Delta AOC}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90°$ 后得到 $\mathit{\Delta BOD}$ ，则 $\mathit{AC}$ 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 $($ 　　 $)c{m}^2$ ．

A．

$\frac{\pi }{2}$

B．

$2\pi$

C．

$\frac{17}{8}\pi$

D．

$\frac{19}{8}\pi$

如图，直线与轴，轴分别交于，两点，过，两点的抛物线与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接，若点是线段上的一个动点（不与，重合），过点作，交于点，当的面积是时，求点的坐标；

（3）在（2）的结论下，将绕点旋转得△，试判断点是否在抛物线上，并说明理由．

如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的值是　　．

如图，在中，，，，将绕顶点逆时针旋转得到△，与相交于点．则的最小值为　　．

如图，等边三角形内有一点，分別连结、、，若，，．则　　．

如图，在中，，，，将绕顶点逆时针旋转得到△，与相交于点．则的最小值为　　．