初中数学相似多边形的性质试题

（11·天水）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做
了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜
子放在离树(AB)8.7m的点E处，然后观测考沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里
看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7m，观测者目高CD＝1.6m，则树高AB约是_  
▲  ．（精确到0.1m）

类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整，原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若＝3，求的值．

(1)尝试探究：
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是________，
CG和EH的数量关系是________，
的值是________．
(2)类比延伸：
如图2，在原题条件下，若＝m(m＞0)则的值是________(用含有m的代数式表示)，试写出解答过程．
(3)拓展迁移：
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F，若＝a，＝b(a＞0，b＞0)则的值是________(用含a、b的代数式表示)．

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．

如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．

（1）当点H与点C重合时．
①填空：点E到CD的距离是      ；
②求证：△BCE≌△GCF；
③求△CEF的面积；
（2）当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF的面积．

如图，△ABC是边长为1的等边三角形.取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，
得到四边形EDAF，它的面积记作S₁；取BE中点E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF，得到四边
形E₁D₁FF₁，它的面积记作S₂.照此规律作下去，则S₂₀₁₁=             .

如图，点A₁，A₂，A₃，A₄，…，A_n在射线OA上，点B₁，B₂，B₃，…，B_n―1在射线OB上，且A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃∥…∥A_n﹣1B_n﹣1，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃∥…∥A_nB_n﹣1，△A₁A₂B₁，△A₂A₃B₂，…，△A_n﹣1A_nB_n﹣1为阴影三角形，若△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面积分别为1、4，则△A₁A₂B₁的面积为__________；面积小于2014的阴影三角形共有__________个．

如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，边AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．

（1）直接写出 D，E 两点的坐标，D（         ），E（           ）
（2）求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？
（3）当t为何值时，DP平分∠EDA？
（4）当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．

如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使得两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：

①当x＝1时，点P是正方形ABCD的中心；
②当x＝时，EF＋GH＞AC；
③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；
④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确的是________（填序号）．

有两个直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4，将这两个直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．
（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=        度；
（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；
（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围（直接写出结果，不必写过程）．

如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当时，；
②当时， 
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．

已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．

（1）求AE：AC的值；（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长．

如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）说明△AEF与△DCE相似；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

（年新疆区、兵团12分）如图，直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．

（1）写出A，B两点的坐标；
（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．

问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点。
问题探究：（1）在旋转过程中，
①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由。
②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由。
③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为_______________（直接写出结论，不必证明）
（2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由。

图1              图2                 图3

题背景：如图1，四边形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一条直线上，连接BG，DE．

问题探究：
（1）①如图1所示，当G在CD边上时，猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系．（不要求证明）
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，请选择图2或图3证明你的判断．
类比研究：
（2）若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图所示），且=k（其中k＞0），请写出 线段BG、DE的数量关系及位置关系．请选择图5或图6证明你的判断（仅证数量关系）．
拓展应用：
（3）在（1）中图2中，连接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE²+DG²的值．