初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如果三角形的两个内角 $\alpha$与 $\beta$满足 $2\alpha +\beta =90°$，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若 $\mathit{\Delta ABC}$是“准互余三角形”， $\angle C>90°$， $\angle A=60°$，则 $\angle B=$　　 $°$；

（2）如图①，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=5$．若 $\mathit{AD}$是 $\angle \mathit{BAC}$的平分线，不难证明 $\mathit{\Delta ABD}$是“准互余三角形”．试问在边 $\mathit{BC}$上是否存在点 $E$（异于点 $D)$，使得 $\mathit{\Delta ABE}$也是“准互余三角形”？若存在，请求出 $\mathit{BE}$的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=7$， $\mathit{CD}=12$， $\mathit{BD}\perp \mathit{CD}$， $\angle \mathit{ABD}=2\angle \mathit{BCD}$，且 $\mathit{\Delta ABC}$是“准互余三角形”，求对角线 $\mathit{AC}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $O$为 $\mathit{AC}$上一点，以点 $O$为圆心， $\mathit{OC}$为半径做圆，与 $\mathit{BC}$相切于点 $C$，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp \mathit{BO}$交 $\mathit{BO}$的延长线于点 $D$，且 $\angle \mathit{AOD}=\angle \mathit{BAD}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=6$， $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{4}{3}$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{BC}=4$， $\mathit{CA}=6$， $\mathit{CD}//\mathit{AB}$， $\mathit{BD}$是 $\angle \mathit{ABC}$的平分线， $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$为 $\odot O$直径， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线，连接 $\mathit{BC}$交 $\odot O$于点 $F$，取 $\widehat{\mathit{BF}}$的中点 $D$，连接 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EH}\perp \mathit{AB}$于 $H$．

（1）求证： $\mathit{\Delta HBE}\backsim \mathit{\Delta ABC}$；

（2）若 $\mathit{CF}=4$， $\mathit{BF}=5$，求 $\mathit{AC}$和 $\mathit{EH}$的长．

若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知 $\mathit{\Delta ABC}$是比例三角形， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$，请直接写出所有满足条件的 $\mathit{AC}$的长；

（2）如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$，对角线 $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC}$， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{ADC}$．求证： $\mathit{\Delta ABC}$是比例三角形．

（3）如图2，在（2）的条件下，当 $\angle \mathit{ADC}=90°$时，求 $\frac{\mathit{BD}}{\mathit{AC}}$的值．

已知在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}⩾\mathit{AC}$， $D$， $E$分别为 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$边上的点（不包括端点），且 $\frac{\mathit{DC}}{\mathit{BE}}=\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}=m$，连接 $\mathit{AE}$，过点 $D$作 $\mathit{DM}\perp \mathit{AE}$，垂足为点 $M$，延长 $\mathit{DM}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$．

（1）如图1，过点 $E$作 $\mathit{EH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$，连接 $\mathit{DH}$．

①求证：四边形 $\mathit{DHEC}$是平行四边形；

②若 $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求证： $\mathit{AE}=\mathit{DF}$；

（2）如图2，若 $m=\frac{3}{5}$，求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{AE}}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$为 $\mathit{BC}$边上的中线， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\backsim \mathit{\Delta CAD}$．

（2）若 $\mathit{AB}=13$， $\mathit{BC}=10$，求线段 $\mathit{DE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$为半圆 $O$的直径， $C$为 $\mathit{BA}$延长线上一点， $\mathit{CD}$切半圆 $O$于点 $D$，连接 $\mathit{OD}$．作 $\mathit{BE}\perp \mathit{CD}$于点 $E$，交半圆 $O$于点 $F$．已知 $\mathit{CE}=12$， $\mathit{BE}=9$．

（1）求证： $\mathit{\Delta COD}\backsim \mathit{\Delta CBE}$．

（2）求半圆 $O$的半径 $r$的长．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{4}x+c$与 $x$轴的负半轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，连接 $\mathit{AB}$，点 $C(6,\frac{15}{2})$在抛物线上，直线 $\mathit{AC}$与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求 $c$的值及直线 $\mathit{AC}$的函数表达式；

（2）点 $P$在 $x$轴正半轴上，点 $Q$在 $y$轴正半轴上，连接 $\mathit{PQ}$与直线 $\mathit{AC}$交于点 $M$，连接 $\mathit{MO}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $N$，若 $M$为 $\mathit{PQ}$的中点．

①求证： $\mathit{\Delta APM}\backsim \mathit{\Delta AON}$；

②设点 $M$的横坐标为 $m$，求 $\mathit{AN}$的长（用含 $m$的代数式表示）．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$．

（1）如图1， $E$， $G$分别是 $\mathit{OB}$， $\mathit{OC}$上的点， $\mathit{CE}$与 $\mathit{DG}$的延长线相交于点 $F$．若 $\mathit{DF}\perp \mathit{CE}$，求证： $\mathit{OE}=\mathit{OG}$；

（2）如图2， $H$是 $\mathit{BC}$上的点，过点 $H$作 $\mathit{EH}\perp \mathit{BC}$，交线段 $\mathit{OB}$于点 $E$，连接 $\mathit{DH}$交 $\mathit{CE}$于点 $F$，交 $\mathit{OC}$于点 $G$．若 $\mathit{OE}=\mathit{OG}$，

①求证： $\angle \mathit{ODG}=\angle \mathit{OCE}$；

②当 $\mathit{AB}=1$时，求 $\mathit{HC}$的长．

如图，在锐角三角形 $\mathit{ABC}$中，点 $D$， $E$分别在边 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$上， $\mathit{AG}\perp \mathit{BC}$于点 $G$， $\mathit{AF}\perp \mathit{DE}$于点 $F$， $\angle \mathit{EAF}=\angle \mathit{GAC}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\backsim \mathit{\Delta ABC}$；

（2）若 $\mathit{AD}=3$， $\mathit{AB}=5$，求 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AG}}$的值．

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，求 $\angle A$的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片 $\mathit{DEBF}$，使顶点 $E$， $F$分别落在边 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$上的点 $A$， $C$处，折痕分别为 $\mathit{DG}$， $\mathit{DH}$．求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是三等角四边形．

（3）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，若 $\mathit{CB}=\mathit{CD}=4$，则当 $\mathit{AD}$的长为何值时， $\mathit{AB}$的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线 $\mathit{AC}$的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $P$，直线 $\mathit{BF}$与 $\mathit{AD}$的延长线交于点 $F$，且 $\angle \mathit{AFB}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证：直线 $\mathit{BF}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{CD}=2\sqrt{3}$， $\mathit{OP}=1$，求线段 $\mathit{BF}$的长．

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{CD}$为角平分线， $\angle A=40°$， $\angle B=60°$，求证： $\mathit{CD}$为 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线．

（2）在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=48°$， $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线，且 $\mathit{\Delta ACD}$为等腰三角形，求 $\angle \mathit{ACB}$的度数．

（3）如图2， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=2$， $\mathit{BC}=\sqrt{2}$， $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线，且 $\mathit{\Delta ACD}$是以 $\mathit{CD}$为底边的等腰三角形，求完美分割线 $\mathit{CD}$的长．

我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

（1）概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

（2）问题探究：

如图1，在等邻角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{DAB}=\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的中垂线恰好交于 $\mathit{AB}$边上一点 $P$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$，试探究 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展：

如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$与 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$中， $\angle C=\angle D=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{BD}=3$， $\mathit{AB}=5$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$绕着点 $A$顺时针旋转角 $\alpha (0°<\angle \alpha <\angle \mathit{BAC})$得到 $\mathit{Rt}$△ $\mathit{AB}\text{'}D\text{'}$（如图 $3)$，当凸四边形 $\mathit{AD}\text{'}\mathit{BC}$为等邻角四边形时，求出它的面积．