初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$， $E$分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$上， $\angle \mathit{AED}=\angle B$，射线 $\mathit{AG}$分别交线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{BC}$于点 $F$， $G$，且 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}}=\frac{\mathit{DF}}{\mathit{CG}}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADF}\backsim \mathit{\Delta ACG}$；

（2）若 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}}=\frac{1}{2}$，求 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{FG}}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$．

（1）作出经过点 $B$，圆心 $O$在斜边 $\mathit{AB}$上且与边 $\mathit{AC}$相切于点 $E$的 $\odot O$（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设（1）中所作的 $\odot O$与边 $\mathit{AB}$交于异于点 $B$的另外一点 $D$，若 $\odot O$的直径为5， $\mathit{BC}=4$；求 $\mathit{DE}$的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）

已知：如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $M$是斜边 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{MD}//\mathit{BC}$，且 $\mathit{MD}=\mathit{CM}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta MED}\backsim \mathit{\Delta BCA}$；

（2）求证： $\mathit{\Delta AMD}\cong \mathit{\Delta CMD}$；

（3）设 $\mathit{\Delta MDE}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{BCMD}$的面积为 $S_2$，当 $S_2=\frac{17}{5}{S}_1$时，求 $\cos \angle \mathit{ABC}$的值．

如图， $\mathit{AB}$为圆 $O$的直径， $C$为圆 $O$上一点， $D$为 $\mathit{BC}$延长线一点，且 $\mathit{BC}=\mathit{CD}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AD}$于点 $E$．

（1）求证：直线 $\mathit{EC}$为圆 $O$的切线；

（2）设 $\mathit{BE}$与圆 $O$交于点 $F$， $\mathit{AF}$的延长线与 $\mathit{CE}$交于点 $P$，已知 $\angle \mathit{PCF}=\angle \mathit{CBF}$， $\mathit{PC}=5$， $\mathit{PF}=4$，求 $\sin \angle \mathit{PEF}$的值．

如图，过 $\odot O$外一点 $P$作 $\odot O$的切线 $\mathit{PA}$切 $\odot O$于点 $A$，连接 $\mathit{PO}$并延长，与 $\odot O$交于 $C$、 $D$两点， $M$是半圆 $\mathit{CD}$的中点，连接 $\mathit{AM}$交 $\mathit{CD}$于点 $N$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CM}$．

（1）求证： $C{M}^2=\mathit{MN}\cdot \mathit{MA}$；

（2）若 $\angle P=30°$， $\mathit{PC}=2$，求 $\mathit{CM}$的长．

如图，以 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AB}$为直径作 $\odot O$交斜边 $\mathit{AC}$于点 $D$，过圆心 $O$作 $\mathit{OE}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系并说明理由；

（2）求证： $2D{E}^2=\mathit{CD}·\mathit{OE}$；

（3）若 $\tan C=\frac{4}{3}$， $\mathit{DE}=\frac{5}{2}$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图， $C$是 $\odot O$上一点，点 $P$在直径 $\mathit{AB}$的延长线上， $\odot O$的半径为3， $\mathit{PB}=2$， $\mathit{PC}=4$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线．

（2）求 $\tan \angle \mathit{CAB}$的值．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点坐标分别为 $A(3,0)$， $B(0,4)$， $C(-3,0)$．动点 $M$， $N$同时从 $A$点出发， $M$沿 $A\to C$， $N$沿折线 $A\to B\to C$，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点 $C$时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为 $t$秒．连接 $\mathit{MN}$．

（1）求直线 $\mathit{BC}$的解析式；

（2）移动过程中，将 $\mathit{\Delta AMN}$沿直线 $\mathit{MN}$翻折，点 $A$恰好落在 $\mathit{BC}$边上点 $D$处，求此时 $t$值及点 $D$的坐标；

（3）当点 $M$， $N$移动时，记 $\mathit{\Delta ABC}$在直线 $\mathit{MN}$右侧部分的面积为 $S$，求 $S$关于时间 $t$的函数关系式．

如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$于点 $E$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=\mathit{BD}$，点 $M$为 $\mathit{BC}$中点， $N$为线段 $\mathit{AM}$上的点，且 $\mathit{MB}=\mathit{MN}$．

（1）求证： $\mathit{BN}$平分 $\angle \mathit{ABE}$；

（2）若 $\mathit{BD}=1$，连接 $\mathit{DN}$，当四边形 $\mathit{DNBC}$为平行四边形时，求线段 $\mathit{BC}$的长；

（3）如图②，若点 $F$为 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{FN}$、 $\mathit{FM}$，求证： $\mathit{\Delta MFN}\backsim \mathit{\Delta BDC}$．

如图，已知 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$是 $\odot O$的直径，过点 $C$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $P$， $\odot O$的弦 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，且 $\mathit{DF}=\mathit{EF}$．

（1）求证： $C{O}^2=\mathit{OF}·\mathit{OP}$；

（2）连接 $\mathit{EB}$交 $\mathit{CD}$于点 $G$，过点 $G$作 $\mathit{GH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$，若 $\mathit{PC}=4\sqrt{2}$， $\mathit{PB}=4$，求 $\mathit{GH}$的长．

已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$边上，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{AD}$交于点 $P$，设 $\mathit{AC}=\mathit{kBD}$， $\mathit{CD}=\mathit{kAE}$， $k$为常数，试探究 $\angle \mathit{APE}$的度数：

（1）如图1，若 $k=1$，则 $\angle \mathit{APE}$的度数为　　；

（2）如图2，若 $k=\sqrt{3}$，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出 $\angle \mathit{APE}$的度数．

（3）如图3，若 $k=\sqrt{3}$，且 $D$、 $E$分别在 $\mathit{CB}$、 $\mathit{CA}$的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

如图， $P$是 $\odot O$外的一点， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的两条切线， $A$、 $B$是切点， $\mathit{PO}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，延长 $\mathit{BO}$交 $\odot O$于点 $C$，交 $\mathit{PA}$的延长交于点 $Q$，连接 $\mathit{AC}$．

（1）求证： $\mathit{AC}//\mathit{PO}$；

（2）设 $D$为 $\mathit{PB}$的中点， $\mathit{QD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，若 $\odot O$的半径为3， $\mathit{CQ}=2$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{BE}}$的值．

如图1， $D$是 $\odot O$的直径 $\mathit{BC}$上的一点，过 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$交 $\odot O$于 $E$、 $N$， $F$是 $\odot O$上的一点，过 $F$的直线分别与 $\mathit{CB}$、 $\mathit{DE}$的延长线相交于 $A$、 $P$，连接 $\mathit{CF}$交 $\mathit{PD}$于 $M$， $\angle C=\frac{1}{2}\angle P$．

（1）求证： $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle A=30°$， $\odot O$的半径为4， $\mathit{DM}=1$，求 $\mathit{PM}$的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，连接 $\mathit{BF}$、 $\mathit{BM}$；在线段 $\mathit{DN}$上有一点 $H$，并且以 $H$、 $D$、 $C$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BFM}$相似，求 $\mathit{DH}$的长度．

如图， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆 $\odot O$的直径，点 $P$在 $\mathit{BC}$延长线上，且满足 $\angle \mathit{PAC}=\angle B$．

（1）求证： $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线；

（2）弦 $\mathit{CE}\perp \mathit{AD}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，若 $\mathit{AF}·\mathit{AB}=12$，求 $\mathit{AC}$的长．

如图，在直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $H$是 $\mathit{\Delta ABC}$的内心，

$\mathit{AH}$的延长线和三角形 $\mathit{ABC}$的外接圆 $O$相交于点 $D$，连接 $\mathit{DB}$．

（1）求证： $\mathit{DH}=\mathit{DB}$；

（2）过点 $D$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$的延长线分别于点 $E$、 $F$，已知 $\mathit{CE}=1$，圆 $O$的直径为5．

①求证： $\mathit{EF}$为圆 $O$的切线；

②求 $\mathit{DF}$的长．