初中数学相似三角形的判定与性质试题

如图所示，梯形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}//\mathit{DC}$ ， $\angle B=90°$ ， $\mathit{AD}=15$ ， $\mathit{AB}=16$ ， $\mathit{BC}=12$ ，点 $E$ 是边 $\mathit{AB}$ 上的动点，点 $F$ 是射线 $\mathit{CD}$ 上一点，射线 $\mathit{ED}$ 和射线 $\mathit{AF}$ 交于点 $G$ ，且 $\angle \mathit{AGE}=\angle \mathit{DAB}$ ．

（1）求线段 $\mathit{CD}$ 的长；

（2）如果 $\mathit{\Delta AEG}$ 是以 $\mathit{EG}$ 为腰的等腰三角形，求线段 $\mathit{AE}$ 的长；

（3）如果点 $F$ 在边 $\mathit{CD}$ 上（不与点 $C$ 、 $D$ 重合），设 $\mathit{AE}=x$ ， $\mathit{DF}=y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围．

在中，点、分别是边、的中点，那么的面积与的面积的比是　　．

如图，是的直径，是的一条弦，是的切线．作并与交于点，延长交于点，交于点，连接．

（1）求证：；

（2）若的半径，，求的长．

如图，的半径，过点作的切线，且，连接并延长，与交于点、，过点作，并与交于点，连接、．

（1）求证：；

（2）求的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=8$ ，过矩形的对称中心 $O$ 的直线 $\mathit{EF}$ ，分别与 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ 、 $F$ ，且 $\mathit{FC}=2$ ．若 $H$ 为 $\mathit{OE}$ 的中点，连接 $\mathit{BH}$ 并延长，与 $\mathit{AD}$ 交于点 $G$ ，则 $\mathit{BG}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

8

B．

$\sqrt{61}$

C．

$3\sqrt{5}$

D．

$2\sqrt{13}$

如图，在中，，是的外接圆，点在上，且，过点作的垂线，与的延长线相交于点，并与的延长线相交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若的半径，，求的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是 $\odot O$ 的内接四边形， $\mathit{AD}=\mathit{BC}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=45°$ ， $\angle B=75°$ ，则下列等式成立的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{AB}=2\mathit{CD}$

B．

$\mathit{AB}=\sqrt{3}\mathit{CD}$

C．

$\mathit{AB}=\frac{3}{2}\mathit{CD}$

D．

$\mathit{AB}=\sqrt{2}\mathit{CD}$

问题提出

（1）如图①，是等边三角形，，若点是的内心，则的长为　　；

问题探究

（2）如图②，在矩形中，，，如果点是边上一点，且，那么边上是否存在一点，使得线段将矩形的面积平分？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由草地和弦与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于（即每次喷灌时喷灌龙头由转到，然后再转回，这样往复喷灌．同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出，，的面积为；过弦的中点作交于点，又测得．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

如图．在中，，，是的角平分线，过点作交边于点．若，则图中阴影部分的面积为　　

如图， 已知： $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的弦， 过点 $B$ 作 $\mathit{BC}\perp \mathit{AB}$ 交 $\odot O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $D$ ，取 $\mathit{AD}$ 的中点 $E$ ，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 的延长线于点 $G$ ．

求证：

（1） $\mathit{FC}=\mathit{FG}$ ；

（2） $A{B}^2=\mathit{BC}·\mathit{BG}$ ．

某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了"望月阁"及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量"望月阁"的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与"望月阁"底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和"望月阁"之间的直线 $\mathit{BM}$ 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线 $\mathit{BM}$ 上的对应位置为点 $C$ ，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点 $D$ 时，看到"望月阁"顶端点 $A$ 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度 $\mathit{ED}=1.5$ 米， $\mathit{CD}=2$ 米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从 $D$ 点沿 $\mathit{DM}$ 方向走了16米，到达"望月阁"影子的末端 $F$ 点处，此时，测得小亮身高 $\mathit{FG}$ 的影长 $\mathit{FH}=2.5$ 米， $\mathit{FG}=1.65$ 米．

如图，已知 $\mathit{AB}\perp \mathit{BM}$ ， $\mathit{ED}\perp \mathit{BM}$ ， $\mathit{GF}\perp \mathit{BM}$ ，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出"望月阁"的高 $\mathit{AB}$ 的长度．

如图，已知 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{\Delta ABC}$ 是 $\odot O$ 的内接三角形， $\mathit{AB}=8$ ，．过点 $B$ 作 $\odot O$ 的切线 $\mathit{BD}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AD}\perp \mathit{BD}$ ，垂足为 $D$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{BAD}+\angle C=90°$

（2）求线段 $\mathit{AD}$ 的长．

如图，在正方形中，，是边的中点，是边上的一点，且，若、分别是线段、上的动点，则的最小值为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\mathit{AB}=20$ ， $\mathit{AC}=15$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的高 $\mathit{AD}$ 与角平分线 $\mathit{CF}$ 交于点 $E$ ，则 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{AF}}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{3}{5}$

B．

$\frac{3}{4}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

$\frac{2}{3}$

在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为，，，点在轴上，点在直线上，若，于点，则点的坐标为　　．