初中数学相似三角形的应用解答题

如图，若要在宽 $\mathit{AD}$为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂 $\mathit{BC}$长2米，且与灯柱 $\mathit{AB}$成 $120°$角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 $\mathit{CO}$与灯臂 $\mathit{BC}$垂直，当灯罩的轴线 $\mathit{CO}$通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱 $\mathit{AB}$高应该设计为多少米（结果保留根号）？

如图，一块材料的形状是锐角三角形 $\mathit{ABC}$，边 $\mathit{BC}=120\mathit{mm}$，高 $\mathit{AD}=80\mathit{mm}$，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 $\mathit{BC}$上，其余两个顶点分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上，这个正方形零件的边长是多少？

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{BD}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{BD}$与 $\mathit{AC}$相交于点 $H$， $\mathit{AC}$的延长线与过点 $B$的直线相交于点 $E$，且 $\angle A=\angle \mathit{EBC}$．

（1）求证： $\mathit{BE}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\mathit{CG}//\mathit{EB}$，且 $\mathit{CG}$与 $\mathit{BD}$、 $\mathit{BA}$分别相交于点 $F$、 $G$，若 $\mathit{BG}·\mathit{BA}=48$， $\mathit{FG}=\sqrt{2}$， $\mathit{DF}=2\mathit{BF}$，求 $\mathit{AH}$的值．

小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点 $A$ 处测得汽车前端 $F$ 的俯角为 $\alpha$ ，且 $\tan \alpha =\frac{1}{3}$ ，若直线 $\mathit{AF}$ 与地面 $l_1$ 相交于点 $B$ ，点 $A$ 到地面 $l_1$ 的垂线段 $\mathit{AC}$ 的长度为1.6米，假设眼睛 $A$ 处的水平线 $l_2$ 与地面 $l_1$ 平行．

（1）求 $\mathit{BC}$ 的长度；

（2）假如障碍物上的点 $M$ 正好位于线段 $\mathit{BC}$ 的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段 $\mathit{MN}$ 为此长方形前端的边）， $\mathit{MN}\perp l_1$ ，若小强的爸爸将汽车沿直线 $l_1$ 后退0.6米，通过汽车的前端 $F_1$ 点恰好看见障碍物的顶部 $N$ 点（点 $D$ 为点 $A$ 的对应点，点 $F_1$ 为点 $F$ 的对应点），求障碍物的高度．

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，关于原点对称的抛物线为．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点在抛物线上，且位于第一象限，过点作轴，垂足为．若与相似，求符合条件的点的坐标．

周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点与点、共线．

已知：，，测得，，．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽．

某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了"望月阁"及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量"望月阁"的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与"望月阁"底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和"望月阁"之间的直线 $\mathit{BM}$ 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线 $\mathit{BM}$ 上的对应位置为点 $C$ ，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点 $D$ 时，看到"望月阁"顶端点 $A$ 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度 $\mathit{ED}=1.5$ 米， $\mathit{CD}=2$ 米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从 $D$ 点沿 $\mathit{DM}$ 方向走了16米，到达"望月阁"影子的末端 $F$ 点处，此时，测得小亮身高 $\mathit{FG}$ 的影长 $\mathit{FH}=2.5$ 米， $\mathit{FG}=1.65$ 米．

如图，已知 $\mathit{AB}\perp \mathit{BM}$ ， $\mathit{ED}\perp \mathit{BM}$ ， $\mathit{GF}\perp \mathit{BM}$ ，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出"望月阁"的高 $\mathit{AB}$ 的长度．

有一块两条直角边BC、AC的长分别为3厘米和4厘米的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个面积尽最大的正方形，甲、乙两位师傅加工方案分别如图所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）．