初中数学锐角三角函数的定义解答题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABM}$和 $\text{Rt}\Delta \text{ADN}$的斜边分别为正方形的边 $\mathit{AB}$和 $\mathit{AD}$，其中 $\mathit{AM}=\mathit{AN}$．

（1）求证： $\text{Rt}\Delta \text{ABM}\cong \text{Rt}\Delta \text{AND}$；

（2）线段 $\mathit{MN}$与线段 $\mathit{AD}$相交于 $T$，若 $\mathit{AT}=\frac{1}{4}\mathit{AD}$，求 $\tan \angle \mathit{ABM}$的值．

已知在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{CD}$为 $\angle \mathit{ACB}$的平分线，将 $\angle \mathit{ACB}$沿 $\mathit{CD}$所在的直线对折，使点 $B$落在点 $B\text{'}$处，连接 $A{B}^{\text{'}}$， $B{B}^{\text{'}}$，延长 $\mathit{CD}$交 $B{B}^{\text{'}}$于点 $E$，设 $\angle \mathit{ABC}=2\alpha (0°<\alpha <45°)$．

（1）如图1，若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，求证： $\mathit{CD}=2\mathit{BE}$；

（2）如图2，若 $\mathit{AB}\ne \mathit{AC}$，试求 $\mathit{CD}$与 $\mathit{BE}$的数量关系（用含 $\alpha$的式子表示）；

（3）如图3，将（2）中的线段 $\mathit{BC}$绕点 $C$逆时针旋转角 $(\alpha +45°)$，得到线段 $\mathit{FC}$，连接 $\mathit{EF}$交 $\mathit{BC}$于点 $O$，设 $\mathit{\Delta COE}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta COF}$的面积为 $S_2$，求 $\frac{S_1}{S_2}$（用含 $\alpha$的式子表示）．

如图1，直线 $y=x+1$与抛物线 $y=2x^2$相交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $M$， $M$、 $N$关于 $x$轴对称，连接 $\mathit{AN}$、 $\mathit{BN}$．

（1）①求 $A$、 $B$的坐标；②求证： $\angle \mathit{ANM}=\angle \mathit{BNM}$；

（2）如图2，将题中直线 $y=x+1$变为 $y=\mathit{kx}+b(b>0)$，抛物线 $y=2x^2$变为 $y=a{x}^2(a>0)$，其他条件不变，那么 $\angle \mathit{ANM}=\angle \mathit{BNM}$是否仍然成立？请说明理由．

如图，在三角形 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=5$，以 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $G$，直线 $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线， $D$为切点，交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$；

（2）求 $\tan \angle E$的值．

如图，已知 $\mathit{AB}$为 $\odot O$直径， $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AC}$的延长线于 $E$， $\odot O$的切线交 $\mathit{AD}$的延长线于 $F$．

（1）求证：直线 $\mathit{DE}$与 $\odot O$相切；

（2）已知 $\mathit{DG}\perp \mathit{AB}$且 $\mathit{DE}=4$， $\odot O$的半径为5，求 $\tan \angle F$的值．

如图，已知在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{AC}$交于点 $D$，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{DE}$．

（1）若 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=\frac{1}{3}$，求 $\sin C$；

（2）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线．

如图，已知四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $A$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BDC}}$的中点， $\mathit{AE}\perp \mathit{AC}$于 $A$，与 $\odot O$及 $\mathit{CB}$的延长线交于点 $F$、 $E$，且 $\stackrel{̂}{\mathit{BF}}=\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADC}\backsim \mathit{\Delta EBA}$；

（2）如果 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=5$，求 $\tan \angle \mathit{CAD}$的值．

如图，以 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{BC}$边上一点 $O$为圆心，经过 $A$， $C$两点且与 $\mathit{BC}$边交于点 $E$，点 $D$为 $\mathit{CE}$的下半圆弧的中点，连接 $\mathit{AD}$交线段 $\mathit{EO}$于点 $F$，若 $\mathit{AB}=\mathit{BF}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{CF}=4$， $\mathit{DF}=\sqrt{10}$，求 $\odot O$的半径 $r$及 $\sin B$．

小明在某次作业中得到如下结果：

sin²7°+sin²83°≈0.12²+0.99²=0.9945，

sin²22°+sin²68°≈0.37²+0.93²=1.0018，

sin²29°+sin²61°≈0.48²+0.87²=0.9873，

sin²37°+sin²53°≈0.60²+0.80²=1.0000，

${\sin }^2{45}^{\circ }+{\sin }^2{45}^{\circ }={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=1$

据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin²α+sin²（90°-α）=1．

（Ⅰ）当α=30°时，验证sin²α+sin²（90°-α）=1是否成立；

（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．

如图，线段 是 的直径，弦 于点 ，点 是 上任意一点， ， ．

（1）求 的半径 的长度；

（2）求 ；

（3）直线 交直线 于点 ，直线 交 于点 ，连接 交 于点 ，求 的值．

如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）

（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A₁B₁C₁；

（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 $\frac{1}{2}$，得到△A₂B₂C₂，请在y轴右侧画出△A₂B₂C₂，并求出∠A₂C₂B₂的正弦值．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $O$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ 的交点， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$ ， $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{OE}=\mathit{OF}$ ．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{OF}=2$ ，求 $\tan \angle \mathit{OBE}$ 的值．

如图，二次函数的图象与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，抛物线过点，且顶点为，连接、、、．

（1）填空：　 　；

（2）点是抛物线上一点，点的横坐标大于1，直线交直线于点．若，求点的坐标；

（3）点在直线上，点关于直线对称的点为，点关于直线对称的点为，连接．当点在轴上时，直接写出的长．

如图所示，的顶点在正方形对角线的延长线上，与交于点，连接、，满足．

（1）求证：．

（2）若正方形的边长为1，，求的值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=20$ ，点 $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的一点，将 $\mathit{\Delta ABE}$ 沿着 $\mathit{AE}$ 折叠，点 $B$ 刚好落在 $\mathit{CD}$ 边上点 $G$ 处；点 $F$ 在 $\mathit{DG}$ 上，将 $\mathit{\Delta ADF}$ 沿着 $\mathit{AF}$ 折叠，点 $D$ 刚好落在 $\mathit{AG}$ 上点 $H$ 处，此时 $S_{\mathit{\Delta GFH}}:S_{\mathit{\Delta AFH}}=2:3$ ，

（1）求证： $\mathit{\Delta EGC}\backsim \mathit{\Delta GFH}$ ；

（2）求 $\mathit{AD}$ 的长；

（3）求 $\tan \angle \mathit{GFH}$ 的值．