初中数学解直角三角形的应用选择题

图1是第七届国际数学教育大会 $\left(\mathit{ICME}\right)$ 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\mathit{OABC}$ ．若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $\angle \mathit{AOB}=\alpha$ ，则 $O{C}^2$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+1$

B．

${\sin }^2\alpha +1$

C．

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1$

D．

${\cos }^2\alpha +1$

如图，为了测量某建筑物 $\mathit{BC}$ 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端 $B$ 在同一水平线上的 $A$ 点出发，沿斜坡 $\mathit{AD}$ 行走130米至坡顶 $D$ 处，再从 $D$ 处沿水平方向继续前行若干米后至点 $E$ 处，在 $E$ 点测得该建筑物顶端 $C$ 的仰角为 $60°$ ，建筑物底端 $B$ 的俯角为 $45°$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一平面内，斜坡 $\mathit{AD}$ 的坡度 $i=1:2.4$ ．根据小颖的测量数据，计算出建筑物 $\mathit{BC}$ 的高度约为（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732\left)\right($ 　　 $)$

A．

136.6米

B．

86.7米

C．

186.7米

D．

86.6米

某限高曲臂道路闸口如图所示， $\mathit{AB}$ 垂直地面 $l_1$ 于点 $A$ ， $\mathit{BE}$ 与水平线 $l_2$ 的夹角为 $\alpha (0°⩽\alpha ⩽90°)$ ， $\mathit{EF}//l_1//l_2$ ，若 $\mathit{AB}=1.4$ 米， $\mathit{BE}=2$ 米，车辆的高度为 $h$ （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：

①当 $\alpha =90°$ 时， $h$ 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；

②当 $\alpha =45°$ 时， $h$ 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；

③当 $\alpha =60°$ 时， $h$ 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．

则上述说法正确的个数为 $($ 　　 $)$

A．

0个

B．

1个

C．

2个

D．

3个

如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯 $\mathit{AB}$ 的倾斜角为 $37°$ ，大厅两层之间的距离 $\mathit{BC}$ 为6米，则自动扶梯 $\mathit{AB}$ 的长约为 $(\sin 37°\approx 0.6$ ， $\cos 37°\approx 0.8$ ， $\tan 37°\approx 0.75\left)\right($ 　　 $)$

A．

7.5米

B．

8米

C．

9米

D．

10米

如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 $\alpha$ 时，梯子顶端靠在墙面上的点 $A$ 处，底端落在水平地面的点 $B$ 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 $\beta$ ，已知 $\sin \alpha =\cos \beta =\frac{3}{5}$ ，则梯子顶端上升了 $($ 　　 $)$

A．

1米

B．

1.5米

C．

2米

D．

2.5米

如图，点 $O$ 为正六边形 $\mathit{ABCDEF}$ 对角线 $\mathit{FD}$ 上一点， $S_{\mathit{\Delta AFO}}=8$ ， $S_{\mathit{\Delta CDO}}=2$ ，则 $S_{\mathit{正六边形}\mathit{ABCDEF}}$ 的值是 $($ 　　 $)$

A．	20	B．	30
C．	40	D．	随点 $O$ 位置而变化

如图，某研究性学习小组为测量学校 $A$ 与河对岸工厂 $B$ 之间的距离，在学校附近选一点 $C$ ，利用测量仪器测得 $\angle A=60°$ ， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AC}=2\mathit{km}$ ．据此，可求得学校与工厂之间的距离 $\mathit{AB}$ 等于 $($ 　　 $)$

A．

$2\mathit{km}$

B．

$3\mathit{km}$

C．

$2\sqrt{3}\mathit{km}$

D．

$4\mathit{km}$

如图，在距某居民楼 $\mathit{AB}$楼底 $B$点左侧水平距离 $60m$的 $C$点处有一个山坡，山坡 $\mathit{CD}$的坡度（或坡比） $i=1:0.75$，山坡坡底 $C$点到坡顶 $D$点的距离 $\mathit{CD}=45m$，在坡顶 $D$点处测得居民楼楼顶 $A$点的仰角为 $28°$，居民楼 $\mathit{AB}$与山坡 $\mathit{CD}$的剖面在同一平面内，则居民楼 $\mathit{AB}$的高度约为（参考数据： $\sin 28°\approx 0.47$， $\cos 28°\approx 0.88$， $\tan 28°\approx 0.53\left)\right($　　 $)$

A． $76.9m$B． $82.1m$C． $94.8m$D． $112.6m$

如图，两根竹竿 $\mathit{AB}$和 $\mathit{AD}$斜靠在墙 $\mathit{CE}$上，量得 $\angle \mathit{ABC}=\alpha$， $\angle \mathit{ADC}=\beta$，则竹竿 $\mathit{AB}$与 $\mathit{AD}$的长度之比为 $($　　 $)$

A． $\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }$B． $\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }$C． $\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$D． $\frac{\cos \beta }{\cos \alpha }$

一座楼梯的示意图如图所示， $\mathit{BC}$是铅垂线， $\mathit{CA}$是水平线， $\mathit{BA}$与 $\mathit{CA}$的夹角为 $\theta$．现要在楼梯上铺一条地毯，已知 $\mathit{CA}=4$米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要 $($　　 $)$

A． $\frac{4}{\sin \theta }$米 ${}^2$B． $\frac{4}{\cos \theta }$米 ${}^2$C． $(4+\frac{4}{\tan \theta })$米 ${}^2$D． $(4+4\tan \theta )$米 ${}^2$

把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上， $\angle \mathit{CAB}=60°$，若量出 $\mathit{AD}=6\mathit{cm}$，则圆形螺母的外直径是 $($　　 $)$

A． $12\mathit{cm}$B． $24\mathit{cm}$C． $6\sqrt{3}\mathit{cm}$D． $12\sqrt{3}\mathit{cm}$

如图，电线杆 $\mathit{CD}$的高度为 $h$，两根拉线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BC}$相互垂直， $\angle \mathit{CAB}=\alpha$，则拉线 $\mathit{BC}$的长度为 $(A$、 $D$、 $B$在同一条直线上） $($　　 $)$

A． $\frac{h}{\sin \alpha }$B． $\frac{h}{\cos \alpha }$C． $\frac{h}{\tan \alpha }$D． $h\cdot \cos \alpha$

如图，已知在Rt△ABC中， $\angle \mathit{ABC}＝90°$，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$于E， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$于F，则BE+CF的值（　　）

A．不变B．增大

C．减小D．先变大再变小

如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（　　）

A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米

构建几何图形解决代数问题是"数形结合"思想的重要性，在计算 $\tan 15°$ 时，如图．在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=30°$ ，延长 $\mathit{CB}$ 使 $\mathit{BD}=\mathit{AB}$ ，连接 $\mathit{AD}$ ，得 $\angle D=15°$ ，所以 $\tan 15°=\frac{\mathit{AC}}{\mathit{CD}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$ ．类比这种方法，计算 $\tan 22.5°$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{2}+1$

B．

$\sqrt{2}-1$

C．

$\sqrt{2}$

D．

$\frac{1}{2}$