初中数学解直角三角形的应用计算题

随州市新水一桥（如图1）设计灵感来源于市花 $--$兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔 $\mathit{AB}$和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索 $\mathit{DE}$和最长的斜拉索 $\mathit{AC}$）均在同一水平面内， $\mathit{BC}$在水平桥面上．已知 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{DEB}=45°$， $\angle \mathit{ACB}=30°$， $\mathit{BE}=6$米， $\mathit{AB}=5\mathit{BD}$．

（1）求最短的斜拉索 $\mathit{DE}$的长；

（2）求最长的斜拉索 $\mathit{AC}$的长．

宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$都与地面 $l$平行，车轮半径为 $32\mathit{cm}$， $\angle \mathit{BCD}=64°$， $\mathit{BC}=60\mathit{cm}$，坐垫 $E$与点 $B$的距离 $\mathit{BE}$为 $15\mathit{cm}$．

（1）求坐垫 $E$到地面的距离；

（2）根据经验，当坐垫 $E$到 $\mathit{CD}$的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为 $80\mathit{cm}$，现将坐垫 $E$调整至坐骑舒适高度位置 $E^{\text{'}}$，求 $\mathit{EE}\text{'}$的长．

（结果精确到 $0.1\mathit{cm}$，参考数据： $\sin 64°\approx 0.90$， $\cos 64°\approx 0.44$， $\tan 64°\approx 2.05)$

如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在 $A$处观测对岸点 $C$，测得 $\angle \mathit{CAD}=45°$，小英同学在距点 $A$处60米远的 $B$点测得 $\angle \mathit{CBD}=30°$，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米， $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$．

如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段 $\mathit{AC}$上的 $A$， $B$两点分别对南岸的体育中心 $D$进行测量，分别测得 $\angle \mathit{DAC}=30°$， $\angle \mathit{DBC}=60°$， $\mathit{AB}=200$米，求体育中心 $D$到湟水河北岸 $\mathit{AC}$的距离约为多少米（精确到1米， $\sqrt{3}\approx 1.732$）？

如图，某办公楼 $\mathit{AB}$的后面有一建筑物 $\mathit{CD}$，当光线与地面的夹角是 $22°$时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子 $\mathit{CE}$，而当光线与地面夹角是 $45°$时，办公楼顶 $A$在地面上的影子 $F$与墙角 $C$有25米的距离（ $B$， $F$， $C$在一条直线上）．

（1）求办公楼 $\mathit{AB}$的高度；

（2）若要在 $A$， $E$之间挂一些彩旗，请你求出 $A$， $E$之间的距离．

（参考数据： $\sin 22°\approx \frac{3}{8}$， $\cos 22°\approx \frac{15}{16}$， $\tan 22°\approx \frac{2}{5})$

某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆 $\mathit{AB}$的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长 $\mathit{BC}$为4米，落在斜坡上的影长 $\mathit{CD}$为3米， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$，同一时刻，光线与水平面的夹角为 $72°$，1米的竖立标杆 $\mathit{PQ}$在斜坡上的影长 $\mathit{QR}$为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据： $\sin 72°\approx 0.95$， $\cos 72°\approx 0.31$， $\tan 72°\approx 3.08)$

$A$， $B$两地被大山阻隔，若要从 $A$地到 $B$地，只能沿着如图所示的公路先从 $A$地到 $C$地，再由 $C$地到 $B$地．现计划开凿隧道 $A$， $B$两地直线贯通，经测量得： $\angle \mathit{CAB}=30°$， $\angle \mathit{CBA}=45°$， $\mathit{AC}=20\mathit{km}$，求隧道开通后与隧道开通前相比，从 $A$地到 $B$地的路程将缩短多少？（结果精确到 $0.1\mathit{km}$，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

公交总站 $(A$点）与 $B$、 $C$两个站点的位置如图所示，已知 $\mathit{AC}=6\mathit{km}$， $\angle B=30°$， $\angle C=15°$，求 $B$站点离公交总站的距离即 $\mathit{AB}$的长（结果保留根号）．

图中是抛物线拱桥， $P$处有一照明灯，水面 $\mathit{OA}$宽 $4m$，从 $O$、 $A$两处观测 $P$处，仰角分别为 $\alpha$、 $\beta$，且 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$， $\tan \beta =\frac{3}{2}$，以 $O$为原点， $\mathit{OA}$所在直线为 $x$轴建立直角坐标系．

（1）求点 $P$的坐标；

（2）水面上升 $1m$，水面宽多少 $(\sqrt{2}$取1.41，结果精确到 $0.1m)$？

小宇想测量位于池塘两端的 $A$、 $B$两点的距离．他沿着与直线 $\mathit{AB}$平行的道路 $\mathit{EF}$行走，当行走到点 $C$处，测得 $\angle \mathit{ACF}=45°$，再向前行走100米到点 $D$处，测得 $\angle \mathit{BDF}=60°$．若直线 $\mathit{AB}$与 $\mathit{EF}$之间的距离为60米，求 $A$、 $B$两点的距离．