初中数学解直角三角形的应用-仰角俯角问题计算题

数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭之间的距离．如图，无人机所在位置 $P$与岚光阁阁顶 $A$、湖心亭 $B$在同一铅垂面内， $P$与 $B$的垂直距离为300米， $A$与 $B$的垂直距离为150米，在 $P$处测得 $A$、 $B$两点的俯角分别为 $\alpha$、 $\beta$，且 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$， $\tan \beta =\sqrt{2}-1$，试求岚光阁与湖心亭之间的距离 $\mathit{AB}$．（计算结果若含有根号，请保留根号）

如图，在大楼 $\mathit{AB}$正前方有一斜坡 $\mathit{CD}$，坡角 $\angle \mathit{DCE}=30°$，楼高 $\mathit{AB}=60$米，在斜坡下的点 $C$处测得楼顶 $B$的仰角为 $60°$，在斜坡上的 $D$处测得楼顶 $B$的仰角为 $45°$，其中点 $A$， $C$， $E$在同一直线上．

（1）求坡底 $C$点到大楼距离 $\mathit{AC}$的值；

（2）求斜坡 $\mathit{CD}$的长度．

风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在 $A$处测得塔杆顶端 $C$的仰角是 $55°$，沿 $\mathit{HA}$方向水平前进43米到达山底 $G$处，在山顶 $B$处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端 $D(D$、 $C$、 $H$在同一直线上）的仰角是 $45°$．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高 $\mathit{BG}$为10米， $\mathit{BG}\perp \mathit{HG}$， $\mathit{CH}\perp \mathit{AH}$，求塔杆 $\mathit{CH}$的高．（参考数据： $\tan 55°\approx 1.4$， $\tan 35°\approx 0.7$， $\sin 55°\approx 0.8$， $\sin 35°\approx 0.6)$

金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆 $\mathit{AB}$的高，他们在旗杆正前方台阶上的点 $C$处，测得旗杆顶端 $A$的仰角为 $45°$，朝着旗杆的方向走到台阶下的点 $F$处，测得旗杆顶端 $A$的仰角为 $60°$，已知升旗台的高度 $\mathit{BE}$为1米，点 $C$距地面的高度 $\mathit{CD}$为3米，台阶 $\mathit{CF}$的坡角为 $30°$，且点 $E$、 $F$、 $D$在同一条直线上，求旗杆 $\mathit{AB}$的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌 $\mathit{ABCD}$（如图所示），已知标语牌的高 $\mathit{AB}=5m$，在地面的点 $E$处，测得标语牌点 $A$的仰角为 $30°$，在地面的点 $F$处，测得标语牌点 $A$的仰角为 $75°$，且点 $E$， $F$， $B$， $C$在同一直线上，求点 $E$与点 $F$之间的距离．（计算结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底 $M$处出发，向前走3米到达 $A$处，测得树顶端 $E$的仰角为 $30°$，他又继续走下台阶到达 $C$处，测得树的顶端 $E$的仰角是 $60°$，再继续向前走到大树底 $D$处，测得食堂楼顶 $N$的仰角为 $45°$．已知点离地面的高度 $\mathit{AB}=2$米， $\angle \mathit{BCA}=30°$，且 $B$、 $C$、 $D$三点在同一直线上．

（1）求树 $\mathit{DE}$的高度；

（2）求食堂 $\mathit{MN}$的高度．

如图，山顶有一塔 $\mathit{AB}$，塔高 $33m$．计划在塔的正下方沿直线 $\mathit{CD}$开通穿山隧道 $\mathit{EF}$．从与 $E$点相距 $80m$的 $C$处测得 $A$、 $B$的仰角分别为 $27°$、 $22°$，从与 $F$点相距 $50m$的 $D$处测得 $A$的仰角为 $45°$．求隧道 $\mathit{EF}$的长度．

（参考数据： $\tan 22°\approx 0.40$， $\tan 27°\approx 0.51$． $)$

如图，小强想测量楼 $\mathit{CD}$的高度，楼在围墙内，小强只能在围墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是小强在 $A$处仰望楼顶，测得仰角为 $37°$，再往楼的方向前进30米至 $B$处，测得楼顶的仰角为 $53°(A$， $B$， $C$三点在一条直线上），求楼 $\mathit{CD}$的高度（结果精确到0.1米，小强的身高忽略不计）．

如图，在数学活动课上，小丽为了测量校园内旗杆 $\mathit{AB}$的高度，站在教学楼的 $C$处测得旗杆底端 $B$的俯角为 $45°$，测得旗杆顶端 $A$的仰角为 $30°$．已知旗杆与教学楼的距离 $\mathit{BD}=9m$，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）．

如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离 $\mathit{BC}$为 $30m$，在 $A$点测得 $D$点的仰角 $\angle \mathit{EAD}$为 $45°$，在 $B$点测得 $D$点的仰角 $\angle \mathit{CBD}$为 $60°$，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）

如图，建筑物 $\mathit{AB}$的高为 $6m$，在其正东方向有一个通信塔 $\mathit{CD}$，在它们之间的地面点 $M(B$， $M$， $D$三点在一条直线上）处测得建筑物顶端 $A$，塔顶 $C$的仰角分别为 $37°$和 $60°$，在 $A$处测得塔顶 $C$的仰角为 $30°$，则通信塔 $\mathit{CD}$的高度． $(\tan 37°\approx 0.75,0.01m)$

如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆 $\mathit{AB}$的高度，在操场的平地上选择一点 $C$，测得旗杆顶端 $A$的仰角为 $30°$，再向旗杆的方向前进16米，到达点 $D$处 $(C$、 $D$、 $B$三点在同一直线上），又测得旗杆顶端 $A$的仰角为 $45°$，请计算旗杆 $\mathit{AB}$的高度（结果保留根号）．

如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 $\mathit{BH}$ 和教学楼 $\mathit{CG}$ 的高，先在 $A$ 处用高1.5米的测角仪测得古树顶端 $H$ 的仰角 $\angle \mathit{HDE}$ 为 $45°$ ，此时教学楼顶端 $G$ 恰好在视线 $\mathit{DH}$ 上，再向前走7米到达 $B$ 处，又测得教学楼顶端 $G$ 的仰角 $\angle \mathit{GEF}$ 为 $60°$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点在同一水平线上．

（1）计算古树 $\mathit{BH}$ 的高；

（2）计算教学楼 $\mathit{CG}$ 的高．（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.4$ ， $\sqrt{3}\approx 1.7)$

如图，在大楼 $\mathit{AB}$的正前方有一斜坡 $\mathit{CD}$， $\mathit{CD}=4$米，坡角 $\angle \mathit{DCE}=30°$，小红在斜坡下的点 $C$处测得楼顶 $B$的仰角为 $60°$，在斜坡上的点 $D$处测得楼顶 $B$的仰角为 $45°$，其中点 $A$、 $C$、 $E$在同一直线上．

（1）求斜坡 $\mathit{CD}$的高度 $\mathit{DE}$；

（2）求大楼 $\mathit{AB}$的高度（结果保留根号）

如图，大楼 $\mathit{AB}$ 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 $\mathit{DE}$ ，在小楼的顶端 $D$ 处测得障碍物边缘点 $C$ 的俯角为 $30°$ ，测得大楼顶端 $A$ 的仰角为 $45°$ （点 $B$ ， $C$ ， $E$ 在同一水平直线上），已知 $\mathit{AB}=80m$ ， $\mathit{DE}=10m$ ，求障碍物 $B$ ， $C$ 两点间的距离（结果精确到 $0.1m)$ （参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$ ， $\sqrt{3}\approx 1.732)$