初中数学解直角三角形的应用-方向角问题试题

一艘货轮以 $18\sqrt{2}\mathit{km}/h$ 的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至 $A$ 处时，发现它的东南方向有一灯塔 $B$ ，货轮继续向东航行30分钟后到达 $C$ 处，发现灯塔 $B$ 在它的南偏东 $15°$ 方向，则此时货轮与灯塔 $B$ 的距离是 　 　 $\mathit{km}$ ．

如图，在一笔直的沿湖道路 $l$上有 $A$、 $B$两个游船码头，观光岛屿 $C$在码头 $A$北偏东 $60°$的方向，在码头 $B$北偏西 $45°$的方向， $\mathit{AC}=4\mathit{km}$．游客小张准备从观光岛屿 $C$乘船沿 $\mathit{CA}$回到码头 $A$或沿 $\mathit{CB}$回到码头 $B$，设开往码头 $A$、 $B$的游船速度分别为 $v_1$、 $v_2$，若回到 $A$、 $B$所用时间相等，则 $\frac{v_1}{v_2}=$　 　（结果保留根号）．

如图，港口 $B$位于港口 $A$的南偏东 $37°$方向，灯塔 $C$恰好在 $\mathit{AB}$的中点处．一艘海轮位于港口 $A$的正南方向，港口 $B$的正西方向的 $D$处，它沿正北方向航行 $5\mathit{km}$到达 $E$处，测得灯塔 $C$在北偏东 $45°$方向上，这时， $E$处距离港口 $A$有多远？（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75)$

如图，湿地景区岸边有三个观景台 $A$、 $B$、 $C$．已知 $\mathit{AB}=1400$米， $\mathit{AC}=1000$米， $B$点位于 $A$点的南偏西 $60.7°$方向， $C$点位于 $A$点的南偏东 $66.1°$方向．

（1）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（2）景区规划在线段 $\mathit{BC}$的中点 $D$处修建一个湖心亭，并修建观景栈道 $\mathit{AD}$．试求 $A$、 $D$间的距离．（结果精确到0.1米）

（参考数据： $\sin 53.2°\approx 0.80$， $\cos 53.2°\approx 0.60$， $\sin 60.7°\approx 0.87$， $\cos 60.7°\approx 0.49$， $\sin 66.1°\approx 0.91$， $\cos 66.1°\approx 0.41$， $\sqrt{2}\approx 1.414)$．

如图，大海中某灯塔 $P$周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 $A$处观察灯塔 $P$在北偏东 $60°$方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点 $B$处，这时观察灯塔 $P$恰好在北偏东 $45°$方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点 $A$处，如图所示，直线 $l$表示公路，一辆小汽车由公路上的 $B$处向 $C$处匀速行驶，用时5秒，经测量，点 $B$在点 $A$北偏东 $45°$方向上，点 $C$在点 $A$北偏东 $60°$方向上，这段公路最高限速60千米 $/$小时，此车　　（填“超速”或“没有超速” $)$（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图，一艘船以 $40\mathit{nmile}/ℎ$的速度由西向东航行，航行到 $A$处时，测得灯塔 $P$在船的北偏东 $30°$方向上，继续航行 $2.5ℎ$，到达 $B$处，测得灯塔 $P$在船的北偏西 $60°$方向上，此时船到灯塔的距离为　　 $\mathit{nmile}$．（结果保留根号）

如图为某海域示意图，其中灯塔 $D$的正东方向有一岛屿 $C$．一艘快艇以每小时 $20\mathit{nmile}$的速度向正东方向航行，到达 $A$处时测得灯塔 $D$在东北方向上，继续航行 $0.3h$，到达 $B$处时测得灯塔 $D$在北偏东 $30°$方向上，同时测得岛屿 $C$恰好在 $B$处的东北方向上，此时快艇与岛屿 $C$的距离是多少？（结果精确到 $1\mathit{nmile}$．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45)$

如图为某海域示意图，其中灯塔 $D$的正东方向有一岛屿 $C$．一艘快艇以每小时 $20\mathit{nmile}$的速度向正东方向航行，到达 $A$处时测得灯塔 $D$在东北方向上，继续航行 $0.3h$，到达 $B$处时测得灯塔 $D$在北偏东 $30°$方向上，同时测得岛屿 $C$恰好在 $B$处的东北方向上，此时快艇与岛屿 $C$的距离是多少？（结果精确到 $1\mathit{nmile}$．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45)$

如图，一艘轮船自西向东航行，航行到 $A$处测得小岛 $C$位于北偏东 $60°$方向上，继续向东航行10海里到达点 $B$处，测得小岛 $C$在轮船的北偏东 $15°$方向上，此时轮船与小岛 $C$的距离为　　海里．（结果保留根号）

为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，我国一艘海监船在 $A$处巡航时，监测到在正东方向的 $B$处有一艘可疑船只正匀速向正北方向航行，我国海监船立即沿北偏东 $45°$方向对该船只实施拦截，航行 $60\mathit{nmile}$后到达 $C$处，发现此时可疑船只在正东方向的 $D$处，我国海监船决定改变航向，沿北偏东 $60°$方向继续加速航行，又航行 $60\mathit{nmile}$后在 $E$处将该可疑船只成功拦截（结果保留根号）

（1）求当我国海监船到达 $C$处时，离可疑船只的距离 $\mathit{CD}$；

（2）成功拦截后，发现整个过程用时 $2h$，求可疑船只的航行速度．

如图为某景区五个景点 $A$， $B$， $C$， $D$， $E$的平面示意图， $B$， $A$在 $C$的正东方向， $D$在 $C$的正北方向， $D$， $E$在 $B$的北偏西 $30°$方向上， $E$在 $A$的西北方向上， $C$， $D$相距 $1000\sqrt{3}m$， $E$在 $\mathit{BD}$的中点处．

（1）求景点 $B$， $E$之间的距离；

（2）求景点 $B$， $A$之间的距离．（结果保留根号）

如图，亿隆小区内有一条南北方向的小路 $\mathit{MN}$，某快递员从小路旁的 $A$处出发沿南偏东 $53°$方向行走 $258m$将快递送至 $B$楼，又继续从 $B$楼沿南偏西 $30°$方向行走 $172m$将快递送至 $C$楼，求此时快递员到小路 $\mathit{MN}$的距离．（计算结果精确到 $1m$．参考数据： $\sin 53°\approx 0.80$， $\cos 53°\approx 0.60$， $\tan 53°\approx 1.33$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图为某区域部分交通线路图，其中直线 $l_1//l_2//l_3$，直线 $l$与直线 $l_1$、 $l_2$、 $l_3$都垂直，垂足分别为点 $A$、点 $B$和点 $C$，（高速路右侧边缘）， $l_2$上的点 $M$位于点 $A$的北偏东 $30°$方向上，且 $\mathit{BM}=\sqrt{3}$千米， $l_3$上的点 $N$位于点 $M$的北偏东 $\alpha$方向上，且 $\cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{13}$， $\mathit{MN}=2\sqrt{13}$千米，点 $A$和点 $N$是城际线 $L$上的两个相邻的站点．

（1）求 $l_2$和 $l_3$之间的距离；

（2）若城际火车平均时速为150千米 $/$小时，求市民小强乘坐城际火车从站点 $A$到站点 $N$需要多少小时？（结果用分数表示）

如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 $l$经过 $A$、 $B$两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点 $C$．经测量， $C$位于 $A$的北偏东 $60°$的方向上， $C$位于 $B$的北偏东 $30°$的方向上，且 $\mathit{AB}=10\mathit{km}$．

（1）求景点 $B$与 $C$的距离；

（2）为了方便游客到景点 $C$游玩，景区管委会准备由景点 $C$向公路 $l$修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）