初中数学解直角三角形的应用-方向角问题解答题

“五 $·$一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头 $A$处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家 $C$在自己的北偏东 $45°$方向，于是沿河边笔直的绿道 $l$步行200米到达 $B$处，这时定位显示小陈家 $C$在自己的北偏东 $30°$方向，如图所示．根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头 $D$处（精确到1米）（备用数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点 $C$处，如图所示，直线 $l$表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的 $A$处向 $B$处匀速行驶，用时5秒．经测量，点 $A$在点 $C$的北偏西 $60°$方向上，点 $B$在点 $C$的北偏西 $45°$方向上．

（1）求 $A$、 $B$之间的路程（精确到0.1米）；

（2）请判断此车是否超过了成纪大道60千米 $/$小时的限制速度？（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图所示，在某海域，一艘指挥船在 $C$处收到渔船在 $B$处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的 $B$处位于 $C$处的南偏西 $45°$方向上，且 $\mathit{BC}=60$海里；指挥船搜索发现，在 $C$处的南偏西 $60°$方向上有一艘海监船 $A$，恰好位于 $B$处的正西方向．于是命令海监船 $A$前往搜救，已知海监船 $A$的航行速度为30海里 $/$小时，问渔船在 $B$处需要等待多长时间才能得到海监船 $A$的救援？（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45$，结果精确到0.1小时）

如图，“中国海监50”正在南海海域 $A$处巡逻，岛礁 $B$上的中国海军发现点 $A$在点 $B$的正西方向上，岛礁 $C$上的中国海军发现点 $A$在点 $C$的南偏东 $30°$方向上，已知点 $C$在点 $B$的北偏西 $60°$方向上，且 $B$、 $C$两地相距120海里．

（1）求出此时点 $A$到岛礁 $C$的距离；

（2）若“中海监50”从 $A$处沿 $\mathit{AC}$方向向岛礁 $C$驶去，当到达点 $A\text{'}$时，测得点 $B$在 $A\text{'}$的南偏东 $75°$的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注 $:$结果保留根号）

如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边 $B$ 处测得对岸边 $A$ 处一棵大树位于北偏东 $60°$ 方向，他以 $1.5m/s$ 的速度沿着河岸向东步行 $40s$ 后到达 $C$ 处，此时测得大树位于北偏东 $45°$ 方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在 $A$处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的 $B$处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东 $75°$方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在 $C$处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

如图， $C$地在 $A$地的正东方向，因有大山阻隔，由 $A$地到 $C$地需绕行 $B$地．已知 $B$地位于 $A$地北偏东 $67°$方向，距离 $A$地 $520\mathit{km}$， $C$地位于 $B$地南偏东 $30°$方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求 $A$地到 $C$地之间高铁线路的长．（结果保留整数）

（参考数据： $\sin 67°\approx \frac{12}{13}$， $\cos 67°\approx \frac{5}{13}$， $\tan 67°\approx \frac{12}{5}$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从 $A$地到 $B$地有一条笔直的铁路通过，但在附近的 $C$处有一大型油库，现测得油库 $C$在 $A$地的北偏东 $60°$方向上，在 $B$地的西北方向上， $\mathit{AB}$的距离为 $250(\sqrt{3}+1)$米．已知在以油库 $C$为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问若在此路段修建铁路，油库 $C$是否会受到影响？请说明理由．

如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点 $A$处，测得河的北岸边点 $B$在其北偏东 $45°$方向，然后向西走 $60m$到达 $C$点，测得点 $B$在点 $C$的北偏东 $60°$方向，如图2．

（1）求 $\angle \mathit{CBA}$的度数．

（2）求出这段河的宽（结果精确到 $1m$，备用数据 $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$．

小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树 $A$和 $B$之间的距离，他在 $A$处测得大树 $B$在 $A$的北偏西 $30°$方向，他从 $A$处出发向北偏东 $15°$方向走了200米到达 $C$处，测得大树 $B$在 $C$的北偏西 $60°$方向．

（1）求 $\angle \mathit{ABC}$的度数；

（2）求两棵大树 $A$和 $B$之间的距离（结果精确到1米）（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$， $\sqrt{6}\approx 2.449)$

如图，一艘货船在灯塔 $C$ 的正南方向，距离灯塔257海里的 $A$ 处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔 $C$ 的南偏东 $40°$ 方向上，同时位于 $A$ 处的北偏东 $60°$ 方向上的 $B$ 处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求 $\mathit{AB}$ 的长（结果取整数）参考数据： $\tan 40°\approx 0.84$ ， $\sqrt{3}$ 取1.73．

如图， $A$， $B$是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在 $C$点处遇险发出求救信号，此时测得 $C$点位于观测点 $A$的北偏东 $45°$方向上，同时位于观测点 $B$的北偏西 $60°$方向上，且测得 $C$点与观测点 $A$的距离为 $25\sqrt{2}$海里．

（1）求观测点 $B$与 $C$点之间的距离；

（2）有一艘救援船位于观测点 $B$的正南方向且与观测点 $B$相距30海里的 $D$点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里 $/$小时，求救援船到达 $C$点需要的最少时间．

如图，线段 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{MN}$ 表示某一段河的两岸， $\mathit{EF}//\mathit{MN}$ ．综合实践课上，同学们需要在河岸 $\mathit{MN}$ 上测量这段河的宽度 $(\mathit{EF}$ 与 $\mathit{MN}$ 之间的距离），已知河对岸 $\mathit{EF}$ 上有建筑物 $C$ 、 $D$ ，且 $\mathit{CD}=60$ 米，同学们首先在河岸 $\mathit{MN}$ 上选取点 $A$ 处，用测角仪测得 $C$ 建筑物位于 $A$ 北偏东 $45°$ 方向，再沿河岸走20米到达 $B$ 处，测得 $D$ 建筑物位于 $B$ 北偏东 $55°$ 方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）

知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用 $C$表示）开展社会实践活动，车到达 $A$地后，发现 $C$地恰好在 $A$地的正北方向，且距离 $A$地13千米，导航显示车辆应沿北偏东 $60°$方向行驶至 $B$地，再沿北偏西 $37°$方向行驶一段距离才能到达 $C$地，求 $B$、 $C$两地的距离．（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

如图，一渔船自西向东追赶鱼群，在 $A$处测得某无名小岛 $C$在北偏东 $60°$方向上，前进2海里到达 $B$点，此时测得无名小岛 $C$在东北方向上．已知无名小岛周围2.5海里内有暗礁，问渔船继续追赶鱼群有无触礁危险？（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414,\sqrt{3}\approx 1.732)$