初中数学解直角三角形的应用-方向角问题解答题

如图，亿隆小区内有一条南北方向的小路 $\mathit{MN}$，某快递员从小路旁的 $A$处出发沿南偏东 $53°$方向行走 $258m$将快递送至 $B$楼，又继续从 $B$楼沿南偏西 $30°$方向行走 $172m$将快递送至 $C$楼，求此时快递员到小路 $\mathit{MN}$的距离．（计算结果精确到 $1m$．参考数据： $\sin 53°\approx 0.80$， $\cos 53°\approx 0.60$， $\tan 53°\approx 1.33$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛在北偏东方向上，航行20海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，小岛周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．

如图，海中有一小岛 $A$，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 $B$点测得小岛 $A$在北偏东 $60°$方向上，航行12海里到达 $D$点，这时测得小岛 $A$在北偏东 $30°$方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔120海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求和的长（结果取整数）．

参考数据：，，，取1.414．

如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 $l$经过 $A$、 $B$两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点 $C$．经测量， $C$位于 $A$的北偏东 $60°$的方向上， $C$位于 $B$的北偏东 $30°$的方向上，且 $\mathit{AB}=10\mathit{km}$．

（1）求景点 $B$与 $C$的距离；

（2）为了方便游客到景点 $C$游玩，景区管委会准备由景点 $C$向公路 $l$修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）

如图所示，我国两艘海监船，在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船，此时，船在船的正南方向5海里处，船测得渔船在其南偏东方向，船测得渔船在其南偏东方向，已知船的航速为30海里小时，船的航速为25海里小时，问船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：，，，

一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆 $C$出发，沿北偏东 $30°$的方向行走2000米到达石鼓书院 $A$处，参观后又从 $A$处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东 $45°$方向的雁峰公园 $B$处，如图所示．

（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；

（2）若这名徒步爱好者以100米 $/$分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？

如图，线段 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{MN}$ 表示某一段河的两岸， $\mathit{EF}//\mathit{MN}$ ．综合实践课上，同学们需要在河岸 $\mathit{MN}$ 上测量这段河的宽度 $(\mathit{EF}$ 与 $\mathit{MN}$ 之间的距离），已知河对岸 $\mathit{EF}$ 上有建筑物 $C$ 、 $D$ ，且 $\mathit{CD}=60$ 米，同学们首先在河岸 $\mathit{MN}$ 上选取点 $A$ 处，用测角仪测得 $C$ 建筑物位于 $A$ 北偏东 $45°$ 方向，再沿河岸走20米到达 $B$ 处，测得 $D$ 建筑物位于 $B$ 北偏东 $55°$ 方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）

为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点 $A$处测得河北岸的树 $H$恰好在 $A$的正北方向．测量方案与数据如下表：

课题	测量河流宽度
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案示意图
说明	点 $B$， $C$在点 $A$的正东方向	点 $B$， $D$在点 $A$的正东方向	点 $B$在点 $A$的正东方向，点 $C$在点 $A$的正西方向．
测量数据	$\mathit{BC}=60m$， $\angle \mathit{ABH}=70°$， $\angle \mathit{ACH}=35°$．	$\mathit{BD}=20m$， $\angle \mathit{ABH}=70°$， $\angle \mathit{BCD}=35°$．	$\mathit{BC}=101m$， $\angle \mathit{ABH}=70°$， $\angle \mathit{ACH}=35°$．

（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？

（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到 $0.1m)$．（参考数据： $\sin 70°\approx 0.94$， $\sin 35°\approx 0.57$， $\tan 70°\approx 2.75$， $\tan 35°\approx 0.70)$

如图所示，在某海域，一艘指挥船在 $C$处收到渔船在 $B$处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的 $B$处位于 $C$处的南偏西 $45°$方向上，且 $\mathit{BC}=60$海里；指挥船搜索发现，在 $C$处的南偏西 $60°$方向上有一艘海监船 $A$，恰好位于 $B$处的正西方向．于是命令海监船 $A$前往搜救，已知海监船 $A$的航行速度为30海里 $/$小时，问渔船在 $B$处需要等待多长时间才能得到海监船 $A$的救援？（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45$，结果精确到0.1小时）

如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从 $A$地到 $B$地有一条笔直的铁路通过，但在附近的 $C$处有一大型油库，现测得油库 $C$在 $A$地的北偏东 $60°$方向上，在 $B$地的西北方向上， $\mathit{AB}$的距离为 $250(\sqrt{3}+1)$米．已知在以油库 $C$为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问若在此路段修建铁路，油库 $C$是否会受到影响？请说明理由．

某海域有一小岛 $P$，在以 $P$为圆心，半径 $r$为 $10(3+\sqrt{3})$海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在 $A$处测得小岛 $P$位于北偏东 $60°$的方向上，当海监船行驶 $20\sqrt{2}$海里后到达 $B$处，此时观测小岛 $P$位于 $B$处北偏东 $45°$方向上．

（1）求 $A$， $P$之间的距离 $\mathit{AP}$；

（2）若海监船由 $B$处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由 $B$处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由 $A$地出发，途经 $B$地去往 $C$地，如图．当他由 $A$地出发时，发现他的北偏东 $45°$方向有一信号发射塔 $P$．他由 $A$地沿正东方向骑行 $4\sqrt{2}\mathit{km}$到达 $B$地，此时发现信号塔 $P$在他的北偏东 $15°$方向，然后他由 $B$地沿北偏东 $75°$方向骑行 $12\mathit{km}$到达 $C$地．

（1）求 $A$地与信号发射塔 $P$之间的距离；

（2）求 $C$地与信号发射塔 $P$之间的距离．（计算结果保留根号）

小明在 $A$点测得 $C$点在 $A$点的北偏西 $75°$方向，并由 $A$点向南偏西 $45°$方向行走到达 $B$点测得 $C$点在 $B$点的北偏西 $45°$方向，继续向正西方向行走 $2\mathit{km}$后到达 $D$点，测得 $C$点在 $D$点的北偏东 $22.5°$方向，求 $A$， $C$两点之间的距离．（结果保留 $0.1\mathit{km}$．参数数据 $\sqrt{3}\approx 1.732)$

在一次海上救援中，两艘专业救助船 $A$、 $B$同时收到某事故渔船 $P$的求救讯息，已知此时救助船 $B$在 $A$的正北方向，事故渔船 $P$在救助船 $A$的北偏西 $30°$方向上，在救助船 $B$的西南方向上，且事故渔船 $P$与救助船 $A$相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船 $P$与救助船 $B$之间的距离（结果保留根号）；

（2）求救助船 $A$、 $B$分别以40海里 $/$小时，30海里 $/$小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船 $P$处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．