初中数学解直角三角形的应用-方向角问题解答题

如图，一艘货船在灯塔 $C$ 的正南方向，距离灯塔257海里的 $A$ 处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔 $C$ 的南偏东 $40°$ 方向上，同时位于 $A$ 处的北偏东 $60°$ 方向上的 $B$ 处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求 $\mathit{AB}$ 的长（结果取整数）参考数据： $\tan 40°\approx 0.84$ ， $\sqrt{3}$ 取1.73．

小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在 $A$处看到 $B$、 $C$处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在 $A$处测得 $B$在北偏西 $45°$方向， $C$在北偏东 $30°$方向，他从 $A$处走了20米到达 $B$处，又在 $B$处测得 $C$在北偏东 $60°$方向．

（1）求 $\angle C$的度数；

（2）求两颗银杏树 $B$、 $C$之间的距离（结果保留根号）．

如图， $A$， $B$是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在 $C$点处遇险发出求救信号，此时测得 $C$点位于观测点 $A$的北偏东 $45°$方向上，同时位于观测点 $B$的北偏西 $60°$方向上，且测得 $C$点与观测点 $A$的距离为 $25\sqrt{2}$海里．

（1）求观测点 $B$与 $C$点之间的距离；

（2）有一艘救援船位于观测点 $B$的正南方向且与观测点 $B$相距30海里的 $D$点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里 $/$小时，求救援船到达 $C$点需要的最少时间．

时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口 $A$ 处向正南方向走300米到达革命纪念碑 $B$ 处，再从 $B$ 处向正东方向走到党史纪念馆 $C$ 处，然后从 $C$ 处向北偏西 $37°$ 方向走200米到达人民英雄雕塑 $D$ 处，最后从 $D$ 处回到 $A$ 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东 $65°$ 方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\sin 65°\approx 0.91$ ， $\cos 65°\approx 0.42$ ， $\tan 65°\approx 2.14)$

某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于 $A$ 处的济南舰突然发现北偏西 $30°$ 方向上的 $C$ 处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里 $B$ 处的西安舰，西安舰测得 $C$ 处位于其北偏西 $60°$ 方向上，请问此时两舰距 $C$ 处的距离分别是多少？

如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边 $B$ 处测得对岸边 $A$ 处一棵大树位于北偏东 $60°$ 方向，他以 $1.5m/s$ 的速度沿着河岸向东步行 $40s$ 后到达 $C$ 处，此时测得大树位于北偏东 $45°$ 方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图，线段 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{MN}$ 表示某一段河的两岸， $\mathit{EF}//\mathit{MN}$ ．综合实践课上，同学们需要在河岸 $\mathit{MN}$ 上测量这段河的宽度 $(\mathit{EF}$ 与 $\mathit{MN}$ 之间的距离），已知河对岸 $\mathit{EF}$ 上有建筑物 $C$ 、 $D$ ，且 $\mathit{CD}=60$ 米，同学们首先在河岸 $\mathit{MN}$ 上选取点 $A$ 处，用测角仪测得 $C$ 建筑物位于 $A$ 北偏东 $45°$ 方向，再沿河岸走20米到达 $B$ 处，测得 $D$ 建筑物位于 $B$ 北偏东 $55°$ 方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）

小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在 $A$ 处时， $D$ 处学校和 $E$ 处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了 $600m$ 到达 $B$ 处时， $E$ 处图书馆在他的北偏东 $15°$ 方向，然后他由 $B$ 处继续向正东方向跑 $600m$ 到达 $C$ 处，此时 $D$ 处学校在他的北偏西 $63.4°$ 方向，求 $D$ 处学校和 $E$ 处图书馆之间的距离．（结果保留整数）

（参考数据： $\sin 63.4°\approx 0.9$ ， $\cos 63.4°\approx 0.4$ ， $\tan 63.4°\approx 2.0$ ， $\sqrt{2}\approx 1.4$ ， $\sqrt{3}\approx 1.7$ ， $\sqrt{6}\approx 2.4)$

某海域有一小岛 $P$，在以 $P$为圆心，半径 $r$为 $10(3+\sqrt{3})$海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在 $A$处测得小岛 $P$位于北偏东 $60°$的方向上，当海监船行驶 $20\sqrt{2}$海里后到达 $B$处，此时观测小岛 $P$位于 $B$处北偏东 $45°$方向上．

（1）求 $A$， $P$之间的距离 $\mathit{AP}$；

（2）若海监船由 $B$处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由 $B$处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由 $A$地出发，途经 $B$地去往 $C$地，如图．当他由 $A$地出发时，发现他的北偏东 $45°$方向有一信号发射塔 $P$．他由 $A$地沿正东方向骑行 $4\sqrt{2}\mathit{km}$到达 $B$地，此时发现信号塔 $P$在他的北偏东 $15°$方向，然后他由 $B$地沿北偏东 $75°$方向骑行 $12\mathit{km}$到达 $C$地．

（1）求 $A$地与信号发射塔 $P$之间的距离；

（2）求 $C$地与信号发射塔 $P$之间的距离．（计算结果保留根号）

小明在 $A$点测得 $C$点在 $A$点的北偏西 $75°$方向，并由 $A$点向南偏西 $45°$方向行走到达 $B$点测得 $C$点在 $B$点的北偏西 $45°$方向，继续向正西方向行走 $2\mathit{km}$后到达 $D$点，测得 $C$点在 $D$点的北偏东 $22.5°$方向，求 $A$， $C$两点之间的距离．（结果保留 $0.1\mathit{km}$．参数数据 $\sqrt{3}\approx 1.732)$

在一次海上救援中，两艘专业救助船 $A$、 $B$同时收到某事故渔船 $P$的求救讯息，已知此时救助船 $B$在 $A$的正北方向，事故渔船 $P$在救助船 $A$的北偏西 $30°$方向上，在救助船 $B$的西南方向上，且事故渔船 $P$与救助船 $A$相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船 $P$与救助船 $B$之间的距离（结果保留根号）；

（2）求救助船 $A$、 $B$分别以40海里 $/$小时，30海里 $/$小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船 $P$处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

如图，一艘轮船离开 $A$港沿着东北方向直线航行 $60\sqrt{2}$海里到达 $B$处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达 $C$处，求 $\mathit{AC}$的距离．

如图， $C$处是一钻井平台，位于东营港口 $A$的北偏东 $60°$方向上，与港口 $A$相距 $60\sqrt{2}$海里，一艘摩托艇从 $A$出发，自西向东航行至 $B$时，改变航向以每小时50海里的速度沿 $\mathit{BC}$方向行进，此时 $C$位于 $B$的北偏西 $45°$方向，则从 $B$到达 $C$需要多少小时？

为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点 $A$处测得河北岸的树 $H$恰好在 $A$的正北方向．测量方案与数据如下表：

课题	测量河流宽度
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案示意图
说明	点 $B$， $C$在点 $A$的正东方向	点 $B$， $D$在点 $A$的正东方向	点 $B$在点 $A$的正东方向，点 $C$在点 $A$的正西方向．
测量数据	$\mathit{BC}=60m$， $\angle \mathit{ABH}=70°$， $\angle \mathit{ACH}=35°$．	$\mathit{BD}=20m$， $\angle \mathit{ABH}=70°$， $\angle \mathit{BCD}=35°$．	$\mathit{BC}=101m$， $\angle \mathit{ABH}=70°$， $\angle \mathit{ACH}=35°$．

（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？

（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到 $0.1m)$．（参考数据： $\sin 70°\approx 0.94$， $\sin 35°\approx 0.57$， $\tan 70°\approx 2.75$， $\tan 35°\approx 0.70)$