初中数学解直角三角形的应用-方向角问题解答题

为了计算湖中小岛上凉亭 $P$到岸边公路 $l$的距离，某数学兴趣小组在公路 $l$上的点 $A$处，测得凉亭 $P$在北偏东 $60°$的方向上；从 $A$处向正东方向行走200米，到达公路 $l$上的点 $B$处，再次测得凉亭 $P$在北偏东 $45°$的方向上，如图所示．求凉亭 $P$到公路 $l$的距离．（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

“五 $·$一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头 $A$处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家 $C$在自己的北偏东 $45°$方向，于是沿河边笔直的绿道 $l$步行200米到达 $B$处，这时定位显示小陈家 $C$在自己的北偏东 $30°$方向，如图所示．根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头 $D$处（精确到1米）（备用数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱 $\mathit{AC}$垂直于地面 $\mathit{AB}$， $P$为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为 $\mathit{\Delta PDE}$， $F$为 $\mathit{PD}$的中点， $\mathit{AC}=2.8m$， $\mathit{PD}=2m$， $\mathit{CF}=1m$， $\angle \mathit{DPE}=20°$，当点 $P$位于初始位置 $P_0$时，点 $D$与 $C$重合（图 $2)$．根据生活经验，当太阳光线与 $\mathit{PE}$垂直时，遮阳效果最佳．

（1）上午 $10:00$时，太阳光线与地面的夹角为 $65°$（图 $3)$，为使遮阳效果最佳，点 $P$需从 $P_0$上调多少距离？（结果精确到 $0.1m)$

（2）中午 $12:00$时，太阳光线与地面垂直（图 $4)$，为使遮阳效果最佳，点 $P$在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到 $0.1m)$（参考数据： $\sin 70°\approx 0.94$， $\cos 70°\approx 0.34$， $\tan 70°\approx 2.75$， $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点 $A$处，测得河的北岸边点 $B$在其北偏东 $45°$方向，然后向西走 $60m$到达 $C$点，测得点 $B$在点 $C$的北偏东 $60°$方向，如图2．

（1）求 $\angle \mathit{CBA}$的度数．

（2）求出这段河的宽（结果精确到 $1m$，备用数据 $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$．

知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用 $C$表示）开展社会实践活动，车到达 $A$地后，发现 $C$地恰好在 $A$地的正北方向，且距离 $A$地13千米，导航显示车辆应沿北偏东 $60°$方向行驶至 $B$地，再沿北偏西 $37°$方向行驶一段距离才能到达 $C$地，求 $B$、 $C$两地的距离．（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

据调查， 超速行驶是引发交通事故的主要原因之一 ． 小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速， 如图所示， 观测点 $C$到公路的距离 $\mathit{CD}=200m$，检测路段的起点 $A$位于点 $C$的南偏东 $60°$方向上， 终点 $B$位于点 $C$的南偏东 $45°$方向上 ． 一辆轿车由东向西匀速行驶， 测得此车由 $A$处行驶到 $B$处的时间为 $10s$． 问此车是否超过了该路段 $16m/s$的限制速度？ （观 测点 $C$离地面的距离忽略不计， 参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 $A$处时，测得小岛 $C$位于它的北偏东 $70°$方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达 $B$处，测得小岛 $C$位于它的北偏东 $37°$方向．如果航母继续航行至小岛 $C$的正南方向的 $D$处，求还需航行的距离 $\mathit{BD}$的长．

（参考数据： $\sin 70°\approx 0.94$， $\cos 70°\approx 0.34$， $\tan 70°\approx 2.75$， $\sin 37°\approx 0.6$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75)$

如图，海中一渔船在 $A$处且与小岛 $C$相距 $70\mathit{nmile}$，若该渔船由西向东航行 $30\mathit{nmile}$到达 $B$处，此时测得小岛 $C$位于 $B$的北偏东 $30°$方向上；求该渔船此时与小岛 $C$之间的距离．

如图，海中有一小岛 $A$，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 $B$点测得小岛 $A$在北偏东 $60°$方向上，航行12海里到达 $D$点，这时测得小岛 $A$在北偏东 $30°$方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在 $A$处测得灯塔 $P$在北偏东 $60°$方向上，海监船继续向东航行1小时到达 $B$处，此时测得灯塔 $P$在北偏东 $30°$方向上．

（1）求 $B$处到灯塔 $P$的距离；

（2）已知灯塔 $P$的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？

科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇 $C$游玩，到达 $A$地后，导航显示车辆应沿北偏西 $60°$方向行驶4千米至 $B$地，再沿北偏东 $45°$方向行驶一段距离到达古镇 $C$，小明发现古镇 $C$恰好在 $A$地的正北方向，求 $B$， $C$两地的距离．

如图，一艘船由 $A$港沿北偏东 $60°$方向航行 $10\mathit{km}$至 $B$港，然后再沿北偏西 $30°$方向航行 $10\mathit{km}$至 $C$港．

（1）求 $A$， $C$两港之间的距离（结果保留到 $0.1\mathit{km}$，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$；

（2）确定 $C$港在 $A$港的什么方向．

如图，一艘轮船位于灯塔 $P$的北偏东 $60°$方向，与灯塔 $P$的距离为80海里的 $A$处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$的南偏东 $45°$方向的 $B$处，求此时轮船所在的 $B$处与灯塔 $P$的距离．（参考数据： $\sqrt{6}\approx 2.449$，结果保留整数）

如图，一艘游轮在 $A$处测得北偏东 $45°$的方向上有一灯塔 $B$．游轮以 $20\sqrt{2}$海里 $/$时的速度向正东方向航行2小时到达 $C$处，此时测得灯塔 $B$在 $C$处北偏东 $15°$的方向上，求 $A$处与灯塔 $B$相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，我军的一艘军舰在南海海域巡航，在 $A$处时，某岛上的灯塔 $P$位于 $A$的南偏西 $30°$方向，距离为 $20\mathit{nmile}$，军舰沿南偏东 $15°$方向航行一段时间后到达 $B$处，此时，灯塔 $P$位于 $B$的西北方向上．

（1）分别求出 $\angle \mathit{PAB}$和 $\angle \mathit{PBA}$的大小；

（2）求 $B$到灯塔 $P$的距离．（结果保留1位小数，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$