初中数学解直角三角形的应用-方向角问题解答题

为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，我国一艘海监船在 $A$处巡航时，监测到在正东方向的 $B$处有一艘可疑船只正匀速向正北方向航行，我国海监船立即沿北偏东 $45°$方向对该船只实施拦截，航行 $60\mathit{nmile}$后到达 $C$处，发现此时可疑船只在正东方向的 $D$处，我国海监船决定改变航向，沿北偏东 $60°$方向继续加速航行，又航行 $60\mathit{nmile}$后在 $E$处将该可疑船只成功拦截（结果保留根号）

（1）求当我国海监船到达 $C$处时，离可疑船只的距离 $\mathit{CD}$；

（2）成功拦截后，发现整个过程用时 $2h$，求可疑船只的航行速度．

如图为某景区五个景点 $A$， $B$， $C$， $D$， $E$的平面示意图， $B$， $A$在 $C$的正东方向， $D$在 $C$的正北方向， $D$， $E$在 $B$的北偏西 $30°$方向上， $E$在 $A$的西北方向上， $C$， $D$相距 $1000\sqrt{3}m$， $E$在 $\mathit{BD}$的中点处．

（1）求景点 $B$， $E$之间的距离；

（2）求景点 $B$， $A$之间的距离．（结果保留根号）

如图，亿隆小区内有一条南北方向的小路 $\mathit{MN}$，某快递员从小路旁的 $A$处出发沿南偏东 $53°$方向行走 $258m$将快递送至 $B$楼，又继续从 $B$楼沿南偏西 $30°$方向行走 $172m$将快递送至 $C$楼，求此时快递员到小路 $\mathit{MN}$的距离．（计算结果精确到 $1m$．参考数据： $\sin 53°\approx 0.80$， $\cos 53°\approx 0.60$， $\tan 53°\approx 1.33$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图为某区域部分交通线路图，其中直线 $l_1//l_2//l_3$，直线 $l$与直线 $l_1$、 $l_2$、 $l_3$都垂直，垂足分别为点 $A$、点 $B$和点 $C$，（高速路右侧边缘）， $l_2$上的点 $M$位于点 $A$的北偏东 $30°$方向上，且 $\mathit{BM}=\sqrt{3}$千米， $l_3$上的点 $N$位于点 $M$的北偏东 $\alpha$方向上，且 $\cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{13}$， $\mathit{MN}=2\sqrt{13}$千米，点 $A$和点 $N$是城际线 $L$上的两个相邻的站点．

（1）求 $l_2$和 $l_3$之间的距离；

（2）若城际火车平均时速为150千米 $/$小时，求市民小强乘坐城际火车从站点 $A$到站点 $N$需要多少小时？（结果用分数表示）

如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 $l$经过 $A$、 $B$两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点 $C$．经测量， $C$位于 $A$的北偏东 $60°$的方向上， $C$位于 $B$的北偏东 $30°$的方向上，且 $\mathit{AB}=10\mathit{km}$．

（1）求景点 $B$与 $C$的距离；

（2）为了方便游客到景点 $C$游玩，景区管委会准备由景点 $C$向公路 $l$修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）

随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到 $A$处时，该舰在观测点 $P$的南偏东 $45°$的方向上，且与观测点 $P$的距离 $\mathit{PA}$为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点 $P$的北偏东 $30°$方向上的 $B$处，问此时巡逻舰与观测点 $P$的距离 $\mathit{PB}$为多少海里？（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$，结果精确到1海里）．

一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆 $C$出发，沿北偏东 $30°$的方向行走2000米到达石鼓书院 $A$处，参观后又从 $A$处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东 $45°$方向的雁峰公园 $B$处，如图所示．

（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；

（2）若这名徒步爱好者以100米 $/$分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？

为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在 $A$处测得灯塔 $P$在北偏东 $60°$方向上，继续航行1小时到达 $B$处，此时测得灯塔 $P$在北偏东 $30°$方向上．

（1）求 $\angle \mathit{APB}$的度数；

（2）已知在灯塔 $P$的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

如图所示， $C$城市在 $A$城市正东方向，现计划在 $A$、 $C$两城市间修建一条高速公路（即线段 $\mathit{AC})$，经测量，森林保护区的中心 $P$在 $A$城市的北偏东 $60°$方向上，在线段 $\mathit{AC}$上距 $A$城市 $120\mathit{km}$的 $B$处测得 $P$在北偏东 $30°$方向上，已知森林保护区是以点 $P$为圆心， $100\mathit{km}$为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，在 $A$处的正东方向有一港口 $B$．某巡逻艇从 $A$处沿着北偏东 $60°$方向巡逻，到达 $C$处时接到命令，立刻在 $C$处沿东南方向以20海里 $/$小时的速度行驶3小时到达港口 $B$．求 $A$， $B$间的距离． $(\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{6}\approx 2.45$，结果保留一位小数）．

如图，在河对岸有一棵大树 $A$，在河岸 $B$点测得 $A$在北偏东 $60°$方向上，向东前进 $120m$到达 $C$点，测得 $A$在北偏东 $30°$方向上，求河的宽度（精确到 $0.1m)$．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$．

超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点 $C$处，如图所示，直线 $l$表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的 $A$处向 $B$处匀速行驶，用时5秒．经测量，点 $A$在点 $C$的北偏西 $60°$方向上，点 $B$在点 $C$的北偏西 $45°$方向上．

（1）求 $A$、 $B$之间的路程（精确到0.1米）；

（2）请判断此车是否超过了成纪大道60千米 $/$小时的限制速度？（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图， $A$， $B$两地被大山阻隔，由 $A$地到 $B$地需要绕行 $C$地，若打通穿山隧道，建成 $A$， $B$两地的直达高铁，可以缩短从 $A$地到 $B$地的路程．已知： $\angle \mathit{CAB}=30°$， $\angle \mathit{CBA}=45°$， $\mathit{AC}=640$公里，求隧道打通后与打通前相比，从 $A$地到 $B$地的路程将约缩短多少公里？（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.7$， $\sqrt{2}\approx 1.4)$

如图，“中国海监50”正在南海海域 $A$处巡逻，岛礁 $B$上的中国海军发现点 $A$在点 $B$的正西方向上，岛礁 $C$上的中国海军发现点 $A$在点 $C$的南偏东 $30°$方向上，已知点 $C$在点 $B$的北偏西 $60°$方向上，且 $B$、 $C$两地相距120海里．

（1）求出此时点 $A$到岛礁 $C$的距离；

（2）若“中海监50”从 $A$处沿 $\mathit{AC}$方向向岛礁 $C$驶去，当到达点 $A\text{'}$时，测得点 $B$在 $A\text{'}$的南偏东 $75°$的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注 $:$结果保留根号）

禁渔期间，我渔政船在 $A$处发现正北方向 $B$处有一艘可疑船只，测得 $A$、 $B$两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东 $45°$方向航行，我渔政船迅速沿北偏东 $30°$方向前去拦截，经历4小时刚好在 $C$处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度（结果保留根号）．