初中数学解直角三角形的应用-方向角问题解答题

如图所示，在某海域，一艘指挥船在 $C$处收到渔船在 $B$处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的 $B$处位于 $C$处的南偏西 $45°$方向上，且 $\mathit{BC}=60$海里；指挥船搜索发现，在 $C$处的南偏西 $60°$方向上有一艘海监船 $A$，恰好位于 $B$处的正西方向．于是命令海监船 $A$前往搜救，已知海监船 $A$的航行速度为30海里 $/$小时，问渔船在 $B$处需要等待多长时间才能得到海监船 $A$的救援？（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45$，结果精确到0.1小时）

某区域平面示意图如图，点 $O$在河的一侧， $\mathit{AC}$和 $\mathit{BC}$表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在 $A$处测得点 $O$位于北偏东 $45°$，乙勘测员在 $B$处测得点 $O$位于南偏西 $73.7°$，测得 $\mathit{AC}=840m$， $\mathit{BC}=500m$．请求出点 $O$到 $\mathit{BC}$的距离．

参考数据： $\sin 73.7°\approx \frac{24}{25}$， $\cos 73.7°\approx \frac{7}{25}$， $\tan 73.7°\approx \frac{24}{7}$

如图， $C$地在 $A$地的正东方向，因有大山阻隔，由 $A$地到 $C$地需绕行 $B$地．已知 $B$地位于 $A$地北偏东 $67°$方向，距离 $A$地 $520\mathit{km}$， $C$地位于 $B$地南偏东 $30°$方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求 $A$地到 $C$地之间高铁线路的长．（结果保留整数）

（参考数据： $\sin 67°\approx \frac{12}{13}$， $\cos 67°\approx \frac{5}{13}$， $\tan 67°\approx \frac{12}{5}$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，上午 $9:00$时，甲、乙两船分别在 $A$、 $B$两处，乙船在甲船的正东方向，且两船之间的距离为33海里．甲船以30海里 $/$时的速度沿北偏东 $45°$方向匀速航行，乙船同时沿北偏东 $30°$方向匀速航行．上午 $11:00$时，甲船航行到 $C$处，乙船航行到 $D$处，此时乙船仍在甲船的正东方向．求两船之间的距离（结果精确到1海里）．

（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45)$

小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树 $A$和 $B$之间的距离，他在 $A$处测得大树 $B$在 $A$的北偏西 $30°$方向，他从 $A$处出发向北偏东 $15°$方向走了200米到达 $C$处，测得大树 $B$在 $C$的北偏西 $60°$方向．

（1）求 $\angle \mathit{ABC}$的度数；

（2）求两棵大树 $A$和 $B$之间的距离（结果精确到1米）（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$， $\sqrt{6}\approx 2.449)$

如图，一渔船自西向东追赶鱼群，在 $A$处测得某无名小岛 $C$在北偏东 $60°$方向上，前进2海里到达 $B$点，此时测得无名小岛 $C$在东北方向上．已知无名小岛周围2.5海里内有暗礁，问渔船继续追赶鱼群有无触礁危险？（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414,\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图，某巡逻艇计划以40海里 $/$时的速度从 $A$处向正东方向的 $D$处航行，出发1.5小时到达 $B$处时，突然接到 $C$处的求救信号，于是巡逻艇立刻以60海里 $/$时的速度向北偏东 $30°$方向的 $C$处航行，到达 $C$处后，测得 $A$处位于 $C$处的南偏西 $60°$方向，解救后巡逻艇又沿南偏东 $45°$方向航行到 $D$处．

（1）求巡逻艇从 $B$处到 $C$处用的时间．

（2）求巡逻艇实际比原计划多航行了多少海里？（结果精确到1海里）．

（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73,\sqrt{6}\approx 2.45)$

如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东 $75°$方向航行，在点 $A$处测得码头 $C$在船的东北方向，航行40分钟后到达 $B$处，这时码头 $C$恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头 $C$的最近距离．（结果精确到0.1海里，参考数据 $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，码头 $A$、 $B$分别在海岛 $O$的北偏东 $45°$和北偏东 $60°$方向上，仓库 $C$在海岛 $O$的北偏东 $75°$方向上，码头 $A$、 $B$均在仓库 $C$的正西方向，码头 $B$和仓库 $C$的距离 $\mathit{BC}=50\mathit{km}$，若将一批物资从仓库 $C$用汽车运送到 $A$、 $B$两个码头中的一处，再用货船运送到海岛 $O$，若汽车的行驶速度为 $50\mathit{km}/h$，货船航行的速度为 $25\mathit{km}/h$，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛 $O$？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.4$， $\sqrt{3}\approx 1.7)$

今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到 $A$港口正西方的 $B$处时，发现在 $B$的北偏东 $60°$方向，相距150海里处的 $C$点有一可疑船只正沿 $\mathit{CA}$方向行驶， $C$点在 $A$港口的北偏东 $30°$方向上，海监船向 $A$港口发出指令，执法船立即从 $A$港口沿 $\mathit{AC}$方向驶出，在 $D$处成功拦截可疑船只，此时 $D$点与 $B$点的距离为 $75\sqrt{2}$海里．

（1）求 $B$点到直线 $\mathit{CA}$的距离；

（2）执法船从 $A$到 $D$航行了多少海里？（结果保留根号）

超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路 $\mathit{MN}$上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点 $C$，现测得一辆小型车在监测点 $C$的南偏西 $30°$方向的 $A$处，7秒后，测得其在监测点 $C$的南偏东 $45°$方向的 $B$处，已知 $\mathit{BC}=200$米， $B$在 $A$的北偏东 $75°$方向，请问：这辆车超速了吗？通过计算说明理由．（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，建筑物 $C$在观测点 $A$的北偏东 $65°$方向上，从观测点 $A$出发向南偏东 $40°$方向走了 $130m$到达观测点 $B$，此时测得建筑物 $C$在观测点 $B$的北偏东 $20°$方向上，求观测点 $B$与建筑物 $C$之间的距离．（结果精确到 $0.1m$．参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图， $A$， $B$两市相距 $150\mathit{km}$，国家级风景区中心 $C$位于 $A$市北偏东 $60°$方向上，位于 $B$市北偏西 $45°$方向上．已知风景区是以点 $C$为圆心、 $50\mathit{km}$为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接 $A$， $B$两市的高速公路，高速公路 $\mathit{AB}$是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图为某海域示意图，其中灯塔 $D$的正东方向有一岛屿 $C$．一艘快艇以每小时 $20\mathit{nmile}$的速度向正东方向航行，到达 $A$处时测得灯塔 $D$在东北方向上，继续航行 $0.3h$，到达 $B$处时测得灯塔 $D$在北偏东 $30°$方向上，同时测得岛屿 $C$恰好在 $B$处的东北方向上，此时快艇与岛屿 $C$的距离是多少？（结果精确到 $1\mathit{nmile}$．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45)$

如图为某海域示意图，其中灯塔 $D$的正东方向有一岛屿 $C$．一艘快艇以每小时 $20\mathit{nmile}$的速度向正东方向航行，到达 $A$处时测得灯塔 $D$在东北方向上，继续航行 $0.3h$，到达 $B$处时测得灯塔 $D$在北偏东 $30°$方向上，同时测得岛屿 $C$恰好在 $B$处的东北方向上，此时快艇与岛屿 $C$的距离是多少？（结果精确到 $1\mathit{nmile}$．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45)$