初中数学解答题

某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克 $m$元，售价每千克 16 元；乙种蔬菜进价每千克 $n$元，售价每千克 18 元．

（ 1 ）该超市购进甲种蔬菜 10 千克和乙种蔬菜 5 千克需要 170 元；购进甲种蔬菜 6 千克和乙种蔬菜 10 千克需要 200 元．求 $m$， $n$的值．

（ 2 ）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 千克，且投入资金不少于 1160 元又不多于 1168 元，设购买甲种蔬菜 $x$千克，求有哪几种购买方案．

（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 $2a$元，乙种蔬菜每千克捐出 $a$元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于 20% ，求 $a$的最大值．

以 $\text{Rt}\Delta ABC$的两边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$为边，向外作正方形 $\mathit{ABDE}$和正方形 $\mathit{ACFG}$，连接 $\mathit{EG}$，过点 $A$作 $\mathit{AM}\perp \mathit{BC}$于 $M$，延长 $\mathit{MA}$交 $\mathit{EG}$于点 $N$．

（ 1 ）如图 1 ，若 $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，易证： $\mathit{EN}=\mathit{GN}$；

（ 2 ）如图 2 ， $\angle \mathit{BAC}=90°$；如图 3 ， $\angle \mathit{BAC}\ne 90°$，（ 1 ）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．

为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离 $y$（单位：千米）与快递车所用时间 $x$（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早 $1$小时出发，到达武汉后用 $2$小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚 $1$小时．

（ 1 ）求 $\mathit{ME}$的函数解析式；

（ 2 ）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．

（ 3 ）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）

某公司工会组织全体员工参加跳绳比赛，工会主席统计了公司 50 名员工一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．

求：（1） 该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多少；

（2） 该公司一名员工说："我的跳绳成绩是我公司的中位数"请你给出该员工跳绳成绩的所在范围；

（3） 若该公司决定给每分钟跳绳不低于 140 个的员工购买纪念品，每个纪念品 300 元，则公司应拿出多少钱购买纪念品．

如图，已知二次函数 $y=-x^2+(a+1)x-a$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$位于点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，已知 $\mathit{\Delta BAC}$的面积是 6 ．

（ 1 ）求 $a$的值；

（ 2 ）在抛物线上是否存在一点 $P$，使 $S_{\mathit{\Delta ABP}}=S_{\mathit{\Delta ABC}}$．存在请求出 $P$坐标，若不存在请说明理由．

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $\Delta ABC$的三个顶点 $A\left(5,2\right)$、 $B\left(5,5\right)$、 $C\left(1,1\right)$均在格点上

（ 1 ）将 $\Delta ABC$向左平移 $5$个单位得到 $\Delta A_1{B}_1{C}_1$，并写出点 $A_1$的坐标；

（ 2 ）画出 $\Delta A_1{B}_1{C}_1$绕点 $C_1$顺时针旋转 $90°$后得到的 $\Delta A_2{B}_2{C}_1$，并写出点 $A_2$的坐标；

（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，求 $\Delta A_1{B}_1{C}_1$在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $\pi$）．

已知，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$的顶点为 $A$，点 $B$的坐标为 $(3,5)$

（ 1 ）求抛物线过点 $B$时顶点 $A$的坐标

（ 2 ）点 $A$的坐标记为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$的函数表达式；

（ 3 ）已知 $C$点的坐标为 $(0,2)$，当 $m$取何值时，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$与线段 $\mathit{BC}$只有一个交点

小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子，以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于 $0$， $1$， $2$，则小伟胜：若所得数值等于 $3$， $4$， $5$，则小梅胜

（ 1 ）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率

（ 2 ）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用上表修改游戏规则，以确保游戏的公平性

如图， $△\mathit{ABC}$的外角 $\angle \mathit{BAM}$的平分线与它的外接圆相交于点 $E$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{CE}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{CM}$于点 $D$

求证：（ 1 ） $\mathit{BE}=\mathit{CE}$；

（ 2 ） $\mathit{EF}$为 $\odot O$ 的切线．

居家学习期间，小睛同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为 ${45}^{\circ }$，底部的俯角为 ${38}^{\circ }$：又用绳子测得测角仪距地面的高度 $\mathit{AB}$为 $31.6m$．求该大棱的高度（结果精确到 $0.1m$）（参考数据： $\sin {38}^{\circ }\approx 0.62$， $\cos {38}^{\circ }\approx 0.79$， $\tan {38}^{\circ }\approx 0.78$）

在"旅游示范公路"建设的的中，工程队计划在海边某路段修建一条长 $1200m$的步行道，由于采用新的施工方式平均每天修建步行道的长度是计划的 $1.5$倍，结果提前 $5$天完成任务，求计划平均每天修建的长度．

解不等式组，并把解集在数轴上表示出来

$\left\{\begin{array}{c}4x-2\ge 3(x-1)\\ \frac{x-5}{2}+1>x-3\end{array}\right.$

对于任意一个四位数 $m$ ，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数 $m$ 为"共生数"．例如： $m=3507$ ，因为 $3+7=2\times (5+0)$ ，所以3507是"共生数"； $m=4135$ ，因为 $4+5\ne 2\times (1+3)$ ，所以4135不是"共生数"．

（1）判断5313，6437是否为"共生数"？并说明理由；

（2）对于"共生数" $n$ ，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记 $F\left(n\right)=\frac{n}{3}$ ．求满足 $F\left(n\right)$ 各数位上的数字之和是偶数的所有 $n$ ．

重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称"堂食"小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称"生食"小面）．已知3份"堂食"小面和2份"生食"小面的总售价为31元，4份"堂食"小面和1份"生食"小面的总售价为33元．

（1）求每份"堂食"小面和"生食"小面的价格分别是多少元？

（2）该面馆在4月共卖出"堂食"小面4500份，"生食"小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份"堂食"小面的价格保持不变，每份"生食"小面的价格降低 $\frac{3}{4}a\%$ ．统计5月的销量和销售额发现："堂食"小面的销量与4月相同，"生食"小面的销量在4月的基础上增加 $\frac{5}{2}a\%$ ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加 $\frac{5}{11}a\%$ ．求 $a$ 的值．

探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y=x+|-2x+6|+m$ 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

$x$	$\dots$	$-2$	$-1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y$	$\dots$	6	5	4	$a$	2	1	$b$	7	$\dots$

（1）写出函数关系式中 $m$ 及表格中 $a$ ， $b$ 的值：

$m=$　　， $a=$　　， $b=$　　；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： 　　；

（3）已知函数 $y=\frac{16}{x}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $x+|-2x+6|+m>\frac{16}{x}$ 的解集．