初中数学解答题

已知二次函数图象的顶点坐标为 $A（1，4）$，且与x轴交于点 $B（﹣1，0）$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点 $P（m，0）$旋转 $180°$，此时点A、B的对应点分别为点C、D．

①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；

②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，平行四边形ABCD中， $DB＝2\sqrt{3}$， $AB＝4，AD＝2，$动点E、F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．

（1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为 $\frac{2}{3}$秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；

（2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为 $\sqrt{3}$个单位每秒，运动时间为x秒，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

（3）如图3，H在线段AB上且 $AH=\frac{1}{3}HB$，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使 $EM＝HM$，并说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，⊙ O 的半径为 1 ， A ， B 为⊙ O 外两点， $AB=1$ ．给出如下定义：平移线段 AB ，得到⊙ O 的弦 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ （ $A^{\text{'}},B^{\text{'}}$ 分别为点 A ， B 的对应点），线段 $A{A}^{\text{'}}$ 长度的最小值称为线段 AB 到⊙ O 的"平移距离"．

（ 1 ）如图，平移线段 AB 到⊙ O 的长度为 1 的弦 $P_1{P}_2$ 和 $P_3{P}_4$ ，则这两条弦的位置关系是            ；在点 $P_1,P_2,P_3,P_4$ 中，连接点 A 与点         的线段的长度等于线段 AB 到⊙ O 的"平移距离"；

（ 2 ）若点 A ， B 都在直线 $y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$ 上，记线段 AB 到⊙ O 的"平移距离"为 $d_1$ ，求 $d_1$ 的最小值；

（ 3 ）若点 A 的坐标为 $\left(2,\frac{3}{2}\right)$ ，记线段 AB 到⊙ O 的"平移距离"为 $d_2$ ，直接写出 $d_2$ 的取值范围．

如图，在直角坐标系中，二次函数经过 $A\left(-2,0\right)$ ， $B\left(2,2\right)$ ， $C\left(0,2\right)$ 三个点．

（ 1 ）求该二次函数的解析式．

（ 2 ）若在该函数图象的对称轴上有个动点 $D$ ，求当 $D$ 点坐标为何值时， $△\mathit{ACD}$ 的周长最小．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，且 $\mathit{OA}=2\mathit{OC}=8\mathit{OB}$ ，点 $P$ 是第三象限内抛物线上的一动点．

（ 1 ）求此抛物线的表达式；

（ 2 ）若 $\mathit{PC}//\mathit{AB}$ ，求点 $P$ 的坐标；

（ 3 ）连接 $\mathit{AC}$ ，求 $\Delta PAC$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

如图 ① ，直线 $l$ 经过点 $（4，0）$ 且平行于 y 轴，二次函数 $y＝a{x}^2﹣2ax+c（a、c\mathrm{是常数}，a＜0）$ 的图象经过点 $M(﹣1，1)$ ，交直线 $l$ 于点 N ，图象的顶点为 D ，它的对称轴与 x 轴交于点 C ，直线 DM 、 DN 分别与 x 轴相交于 A 、 B 两点．

（ 1 ）当 $a＝﹣1$ 时，求点 N 的坐标及 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$ 的值；

（ 2 ）随着 a 的变化， $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$ 的值是否发生变化？请说明理由；

（ 3 ）如图 ② ， E 是 x 轴上位于点 B 右侧的点， $BC＝2BE$ ， DE 交抛物线于点 F ．若 $FB＝FE$ ，求此时的二次函数表达式．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AB}$ 长是方程 $x^2-3x-18=0$ 的根，连接 $\mathit{BD}$ ， $\angle \mathit{DBC}=30°$ ，并过点 $C$ 作 $\mathit{CN}\perp \mathit{BD}$ ，垂足为 $N$ ，动点 $P$ 从点 $B$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿 $\mathit{BD}$ 方向匀速运动到点 $D$ 为止；点 $M$ 沿线段 $\mathit{DA}$ 以每秒 $\sqrt{3}$ 个单位长度的速度由点 $D$ 向点 $A$ 匀速运动，到点 $A$ 为止，点 $P$ 与点 $M$ 同时出发，设运动时间为 $t$ 秒 $\left(t>0\right)$

（ 1 ）线段 $\mathit{CN}=$ ______ ；

（ 2 ）连接 $\mathit{PM}$ 和 $\mathit{MN}$ ，求 $\Delta PMN$ 的面积 $s$ 与运动时间 $t$ 的函数关系式；

（ 3 ）在整个运动过程中，当 $\Delta PMN$ 是以 $\mathit{PN}$ 为腰的等腰三角形时，直接写出点 $P$ 的坐标．

发现规律：

（ 1 ）如图①， $△\mathit{ABC}$ 与 $△\mathit{ADE}$ 都是等边三角形，直线 $\mathit{BD},\mathit{CE}$ 交于点 $F$ ．直线 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{AC}$ 交于点 $H$ ．求 $\angle \mathit{BFC}$ 的度数

（ 2 ）已知： $△\mathit{ABC}$ 与 $△\mathit{ADE}$ 的位置如图②所示，直线 $\mathit{BD},\mathit{CE}$ 交于点 $F$ ．直线 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{AC}$ 交于点 $H$ ．若 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADE}=\alpha$ ， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=\beta$ ，求 $\angle \mathit{BFC}$ 的度数

应用结论：

（ 3 ）如图③，在平面直角坐标系中，点 $O$ 的坐标为 $(0,0)$ ，点 $M$ 的坐标为 $(3,0)$ ， $N$ 为 $y$ 轴上一动点，连接 $\mathit{MN}$ ．将线段 $\mathit{MN}$ 绕点 $M$ 逆时针旋转 ${60}^{\circ }$ 得到线段 $\mathit{MK}$ ，连接 $\mathit{NK}$ ， $\mathit{OK}$ ，求线段 $\mathit{OK}$ 长度的最小值

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $\mathit{AD}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$ ， $\mathit{PD}$ ，求 $\mathit{\Delta PAD}$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 沿射线 $\mathit{AD}$ 平移 $4\sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_1$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_1$ 的对称轴上任意一点，在 $y_1$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过 $A(0,-1)$ ， $B(4,1)$ ．直线 $\mathit{AB}$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ， $P$ 是直线 $\mathit{AB}$ 下方抛物线上的一个动点．过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $D$ ， $\mathit{PE}//x$ 轴，交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当 $\mathit{\Delta PDE}$ 的周长取得最大值时，求点 $P$ 的坐标和 $\mathit{\Delta PDE}$ 周长的最大值；

（3）把抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点 $P$ ． $M$ 是新抛物线上一点， $N$ 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形的点 $M$ 的坐标，并把求其中一个点 $M$ 的坐标的过程写出来．

如果一个自然数 $M$ 的个位数字不为0，且能分解成 $A\times B$ ，其中 $A$ 与 $B$ 都是两位数， $A$ 与 $B$ 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数 $M$ 为"合和数"，并把数 $M$ 分解成 $M=A\times B$ 的过程，称为"合分解"．

例如 $\because 609=21\times 29$ ，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，

$\therefore 609$ 是"合和数"．

又如 $\because 234=18\times 13$ ，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，

$\therefore 234$ 不是"合和数"．

（1）判断168，621是否是"合和数"？并说明理由；

（2）把一个四位"合和数" $M$ 进行"合分解"，即 $M=A\times B$ ． $A$ 的各个数位数字之和与 $B$ 的各个数位数字之和的和记为 $P\left(M\right)$ ； $A$ 的各个数位数字之和与 $B$ 的各个数位数字之和的差的绝对值记为 $Q\left(M\right)$ ．令 $G\left(M\right)=\frac{P\left(M\right)}{Q\left(M\right)}$ ，当 $G\left(M\right)$ 能被4整除时，求出所有满足条件的 $M$ ．

某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．

营养品信息表
营养成份	每千克含铁42毫克
配料表	原料	每千克含铁
	甲食材	50毫克
	乙食材	10毫克
规格	每包食材含量	每包单价
$A$ 包装	1千克	45元
$B$ 包装	0.25千克	12元

（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？

（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．

①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？

②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若 $A$ 的数量不低于 $B$ 的数量，则 $A$ 为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？

电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 $R_1$ ， $R_1$ 与踏板上人的质量 $m$ 之间的函数关系式为 $R_1=\mathit{km}+b$ （其中 $k$ ， $b$ 为常数， $0⩽m⩽120)$ ，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻 $R_0$ 的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为 $U_0$ ，该读数可以换算为人的质量 $m$ ，

温馨提示：①导体两端的电压 $U$ ，导体的电阻 $R$ ，通过导体的电流 $I$ ，满足关系式 $I=\frac{U}{R}$ ；

②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压

（1）求 $k$ ， $b$ 的值；

（2）求 $R_1$ 关于 $U_0$ 的函数解析式；

（3）用含 $U_0$ 的代数式表示 $m$ ；

（4）若电压表量程为 $0~6$ 伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．

问题：如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=5$ ， $\angle \mathit{DAB}$ ， $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{BF}$ 分别与直线 $\mathit{CD}$ 交于点 $E$ ， $F$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

答案： $\mathit{EF}=2$ ．

探究：（1）把"问题"中的条件" $\mathit{AB}=8$ "去掉，其余条件不变．

①当点 $E$ 与点 $F$ 重合时，求 $\mathit{AB}$ 的长；

②当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，求 $\mathit{EF}$ 的长．

（2）把"问题"中的条件" $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=5$ "去掉，其余条件不变，当点 $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 相邻两点间的距离相等时，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}$ 的值．