初中数学试题

一组数据 $3，5，8，7，5，8$的中位数为＿＿＿＿＿．

若一元二次方程 $x^2+2x+k＝0$有两个相等的实数根，则 $k$的值为＿＿＿＿＿．

不等式组 $\left\{\begin{array}{c}-2\mathrm{x}\le 6\\ \mathrm{x}+1\mathrm{＜}0\end{array}\right.$的解集是＿＿＿＿＿．

如图，若抛物线 $y＝a{x}^2+bx+c（a\ne 0）$与 $x$轴交于 $A、B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，若 $\angle OAC＝\angle OCB$．则 $ac$的值为（　　）

A．

$﹣1$

B．

$﹣2$

C．

$-\frac{1}{2}$

D．

$-\frac{1}{3}$

如图，等边 $△ABC$、等边 $△DEF$的边长分别为 $3$和 $2$．开始时点 $A$与点 $D$重合， $DE$在 $AB$上， $DF$在 $AC$上， $△DEF$沿 $AB$向右平移，当点 $D$到达点 $B$时停止．在此过程中，设 $△ABC、△DEF$重合部分的面积为 $y$， $△DEF$移动的距离为 $x$，则 $y$与 $x$的函数图象大致为（　　）

A．		B．
C．		D．

如图，在边长为 $6$的正方形 $ABCD$中，以 $BC$为直径画半圆，则阴影部分的面积是（　　）

A．

$9$

B．

$6$

C．

$3$

D．

$12$

为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共 $20$个，记分规则如下：每答对一个得 $5$分，每答错或不答一个扣 $1$分．小红一共得 $70$分，则小红答对的个数为（　　）

A．

$14$

B．

$15$

C．

$16$

D．

$17$

下列计算错误的是（　　）

A．	$|﹣2|＝2$	B．	${\mathrm{a}}^2\cdot {\mathrm{a}}^{-3}=\frac{1}{\mathrm{a}}$
C．	$\frac{{\mathrm{a}}^2-1}{\mathrm{a}-1}=\mathrm{a}+1$	D．	$（a^2{）}^3＝a^3$

如图， $OA，OB$是 $\odot O$的两条半径，点 $C$在 $\odot O$上，若 $\angle AOB＝{80}^{°}$，则 $\angle C$的度数为（　　）

A．

$30°$

B．

$40°$

C．

$50°$

D．

$60°$

在一个不透明的布袋内，有红球 $5$个，黄球 $4$个，白球 $1$个，蓝球 $3$个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸中哪种球的概率最大（　　）

A．

红球

B．

黄球

C．

白球

D．

蓝球

2022年4月18日，国家统计局发布数据，今年一季度国内生产总值 $270178$亿元．同比增长 $4.8\%$，比2021年四季度环比增长 $1.3\%$．把 $27017800000000$用科学记数法表示为（　　）

A．	$2.70178\times {10}^{14}$	B．	$2.70178\times {10}^{13}$
C．	$0.270178\times {10}^{15}$	D．	$0.270178\times {10}^{14}$

如图，在矩形 $ABCD$中， $A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1）$，则 $D$的坐标为（　　）

A．

$（﹣2，﹣1）$

B．

$（4，﹣1）$

C．

$（﹣3，﹣2）$

D．

$（﹣3，﹣1）$

在实数 $\sqrt{2}$， $\sqrt{3}$， $\sqrt{4}$， $\sqrt{5}$中，有理数是（　　）

A．

$\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{3}$

C．

$\sqrt{4}$

D．

$\sqrt{5}$

如图1，平面直角坐标系 $xOy$中，抛物线 $y＝a{x}^2+bx+c（a＜0）$与 $x$轴分别交于点 $A$和点 $B（1，0）$，与 $y$轴交于点 $C$，对称轴为直线 $x＝﹣1$，且 $OA＝OC$， $P$为抛物线上一动点．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图2，连接 $AC$，当点 $P$在直线 $AC$上方时，求四边形 $PABC$面积的最大值，并求出此时 $P$点的坐标；

（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当 $P，M$运动时，在坐标轴上是否存在点 $N$，使四边形 $PMCN$为矩形？若存在，直接写出点 $P$及其对应点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．

（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①： $（a+b+c）d＝ad+bd+cd$

公式②： $（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd$

公式③： $（a﹣b{）}^2＝a^2﹣2ab+b^2$

公式④： $（a+b{）}^2＝a^2+2ab+b^2$

图1对应公式＿＿＿＿＿，图2对应公式＿＿＿＿＿，图3对应公式＿＿＿＿＿，图4对应公式＿＿＿＿＿．

（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 $（a+b）（a﹣b）＝a^2﹣b^2$的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

（3）如图6，在等腰直角三角形 $ABC$中， $\angle BAC＝90°$， $D$为 $BC$的中点， $E$为边 $AC$上任意一点（不与端点重合），过点 $E$作 $EG\perp BC$于点 $G$，作 $EH\perp AD$于点 $H$，过点 $B$作 $BF\parallel AC$交 $EG$的延长线于点 $F$．记 $△BFG$与 $△CEG$的面积之和为 $S_1$， $△ABD$与 $△AEH$的面积之和为 $S_2$．

①若 $E$为边 $AC$的中点，则 $\frac{{\mathrm{S}}_1}{{\mathrm{S}}_2}$的值为＿＿＿＿＿；

②若 $E$不为边 $AC$的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．