全国重点高中提前招生真题过关（九）

已知 $O$ 为圆锥的顶点， $M$为圆锥底面圆上一点，点 $P$在 $\mathit{OM}$上.一只蜗牛从 $P$点出发，绕圆锥侧面爬行，回到 $P$点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示，若沿 $\mathit{OM}$将圆锥侧面剪开并展平，所得的侧面展开图是（ ）

如图，已知三个等圆 $\odot O_1,\odot O_2,\odot O_3$有公共点 $H$，点 $A,B,C$是这些圆的其他交点，则 $H$是 $△\mathit{ABC}$的（ ）

如图，正六边形 $\mathit{ABCDEF}$的边长为 $6$，以顶点 $A$为圆心， $\mathit{AB}$的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）

设 $A$是以 $\mathit{BC}$为直径的圆上的一点， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，点 $E$在线段 $\mathit{DC}$上，点 $F$在 $\mathit{CB}$的延长线上，满足 $\angle \mathit{BAF}=\angle \mathit{CAE}$.已知 $\mathit{BC}=15,\mathit{BF}=6,\mathit{BD}=3$，则 $\mathit{AE}=$（ ）

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=5,\mathit{AC}=4,\mathit{BC}=3$，经过点 $C$与边 $\mathit{AB}$相切的动圆与 $\mathit{CA},\mathit{CB}$分别交于点 $P,Q$，则线段 $\mathit{PQ}$长度的最小值是（ ）

如图，已知直线 $y=\frac{3}{4}x-6$与 $x$轴， $y$轴分别交于 $B,C$两点， $A$是以 $D\left(0,2\right)$为圆心， $2$为半径的圆上一动点，连接 $\mathit{AC},\mathit{AB}$，则 $△\mathit{ABC}$面积的最小值是（ ）

如图，在 $Rt△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ }$，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点 $E,F,G,H,M,N$都在同一个圆上.记该圆面积为 $S_1,△\mathit{ABC}$面积为 $S_2$，则 $\frac{S_1}{S_2}$的值是（ ）

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$，线段 $\mathit{MN}$在对角线 $\mathit{BD}$上运动，若 $\odot O$的面积为 $2\pi ,\mathit{MN}=1$，则 $△\mathit{AMN}$周长的最小值是（ ）

四边形 $\mathit{ABCD}$内接于圆 $O,\mathit{BD}$为圆 $O$的直径， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$且 $\mathit{BC}+\mathit{CD}=4$，则四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为＿＿＿＿＿.

如图， $\mathit{AB}$是半圆的直径， $C$为半圆的中点， $A\left(2,0\right),B\left(0,1\right)$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点 $C$，则 $k$的值为＿＿＿＿＿.

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=\sqrt{5},\mathit{BC}=2$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$分别交 $\mathit{AC},\mathit{BC}$两边于点 $D,E$，则 $△\mathit{CDE}$的面积为＿＿＿＿＿.

如图，在 $\mathit{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BCA}={90}^{\circ },\angle \mathit{BAC}={30}^{\circ }$， $\mathit{AB}=6$，将 $△\mathit{ABC}$以点 $B$为中心逆时针旋转，使点 $C$旋转到 $\mathit{AB}$边延长线上的点 $C^{\text{'}}$处，那么 $\mathit{AC}$边转过的图形（图中阴影部分）的面积是＿＿＿＿＿.

如图， $△\mathit{ABC}$内接于 $\odot O$，直线 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $E,F$是 $\mathit{OE}$的中点，如果 $\mathit{BD}//\mathit{CF},\mathit{BE}\cdot \mathit{EC}=\mathit{DE}\cdot \mathit{AE}$，且 $\mathit{BE}=\sqrt{5}$，则 $\mathit{AC}=$＿＿＿＿＿.

如图，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为 $16$，则圆的半径为＿＿＿＿＿.

在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}={90}^{\circ },\mathit{AB}=2,\mathit{BC}=3$.点 $D$为平面上一个动点， $\angle \mathit{ADB}={45}^{\circ }$，则线段 $\mathit{CD}$长度的最小值为＿＿＿＿＿.

如图， $\odot O$的半径为 $3$，点 $A$在 $\odot O$上运动， $\mathit{ABCD}$为矩形， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $M,\mathit{MO}=5$，则 $A{B}^2+A{D}^2$的最小值为＿＿＿＿＿.

如图①， $P$为第一象限内一点，过 $P,O$两点的 $\odot M$交 $x$轴正半轴于点 $A$，交 $y$轴正半轴于点 $B,\angle \mathit{OPA}={45}^{\circ }$.

（1）求证: $\mathit{PO}$平分 $\angle \mathit{APB}$;

（2）作 $\mathit{OH}\perp PA$交弦 $\mathit{PA}$于点 $H$.

①若 $\mathit{AH}=2,\mathit{OH}+\mathit{PB}=8$，求 $\mathit{BP}$的长;

②若 $\mathit{BP}=m,\mathit{OH}=n$，把 $△\mathit{POB}$沿 $y$轴翻折，得到 $△P^{\text{'}}\mathit{OB}$（如图②），求 $A{P}^{\text{'}}$的长.

如图所示，在平面直角坐标系中， $\odot O_1$与 $x$轴交于 $A\left(2,0\right),B\left(t+2,0\right)$（且 $t>0)$两点，与 $y$轴相切于点 $C,\mathit{AB}=\mathit{AC}$.

（1）求点 $C,O_1$的坐标和 $t$的值;

（2）求过点 $A,B,C$的抛物线解析式;

（3）若抛物线顶点为 $D$，判断点 $D$与 $\odot O_1$的位置关系，并求出 $△\mathit{ABD}$的外接圆半径.

如图，已知直线 $l:y=\mathit{kx}+2(k<0)$，与 $y$轴交于点 $A$，与 $x$轴交于点 $B$，以 $\mathit{OA}$为直径的 $\odot P$交 $l$于另一点 $D$，把弧 $\mathit{AD}$沿直线 $l$翻转后与 $\mathit{OA}$交于点 $E$.

（1）当 $k=-2$时，求 $\mathit{OE}$的长;

（2）是否存在实数 $k(k<0)$，使沿直线 $l$把弧 $\mathit{AD}$翻转后所得的弧与 $\mathit{OA}$相切?若存在，请求出此时 $k$的值;若不存在，请说明理由.

如图，锐角 $△\mathit{ABC}$中， $\angle A,\angle B,\angle C$的对边分别是 $a,b,c$，已知二次函数 $y=x^2\text{cos}A-x+\frac{1}{\text{cos}A}$的图象顶点与点 $\left(-2\text{cos}A,3\text{cos}A\right)$关于 $y$轴对称.延长 $\mathit{AB}$至 $P$点，使 $\mathit{AP}=2\mathit{AC}$，且以 $C$为圆心， $\mathit{AC}$为半径的圆与以 $B$为圆心 $\mathit{BP}$为半径的圆相外切.

（1）求 $\angle A$的度数;

（2）设 $\mathit{BP}=r$，求 $a:b:c$的值;

（3）若关于 $t$的方程 $3t^2-3\mathit{ct}+\left(a+b\right)=0$的两个根 $\alpha ,\beta$满足 $\alpha \left(\alpha +1\right)+\beta \left(\beta +1\right)=\left(\alpha +1\right)\left(\beta +1\right)$，求 $△\mathit{ABC}$的面积.

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴相交于 $B\left(1,0\right),C\left(4,0\right)$两点，与 $y$轴的正半轴相交于 $A$点，过 $A,B,C$三点的 $\odot P$与 $y$轴相切于点 $A$.

（1）请求出点 $A$坐标和 $\odot P$的半径;

（2）请确定抛物线的解析式;

（3） $M$为 $y$轴负半轴上的一个动点，直线 $\mathit{MB}$交 $\odot P$于点 $D$.若 $△\mathit{AOB}$与以 $A,B,D$为顶点的三角形相似，求 $\mathit{MB}\cdot \mathit{MD}$的值（先画出符合题意的示意图再求解）.

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD},\mathit{AB}=12\text{cm},\mathit{AD}=10\text{cm},\odot O$与 $\mathit{AD},\mathit{AB},\mathit{BC}$三边都相切，与 $\mathit{DC}$交于点 $E,F$.已知点 $P,Q,R$分别从 $D,A,B$三点同时出发，沿矩形 $\mathit{ABCD}$的边逆时针方向匀速运动，点 $P,Q,R$的运动速度分别是 $1\text{cm}/\text{s},x\text{cm}/\text{s},1.5\text{cm}/\text{s}$，当点 $Q$到达点 $B$时停止运动， $P,R$两点同时停止运动.设运动时间为 $t$（单位: $\text{s}$）.

（1）求证: $\mathit{DE}=\mathit{CF}$;

（2）设 $x=3$，当 $△\mathit{PAQ}$与 $△\mathit{QBR}$相似时，求出 $t$的值;

（3）设 $△\mathit{PAQ}$关于直线 $\mathit{PQ}$对称的图形是 $△P{A}^{\text{'}}Q$，当 $t$和 $x$分别为何值时，点 $A^{\text{'}}$与圆心 $O$恰好重合，求出符合条件的 $t,x$的值.

已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2,\mathit{AD}=5$.点 $E$是 $\mathit{AD}$边上一动点，连接 $\mathit{BE},\mathit{CE}$，以 $\mathit{BE}$为直径作 $\odot O$，交 $\mathit{BC}$于点 $F$，过点 $F$作于 $\mathit{FH}\perp \mathit{CE}$于点 $H$.

（1）当直线 $\mathit{FH}$与 $\odot O$相切时，求 $\mathit{AE}$的长;

（2）当 $\mathit{FH}//\mathit{BE}$时，求 $\mathit{AE}$的长;

（3）若线段 $\mathit{FH}$交 $\odot O$于点 $G$，在点 $E$运动过程中， $△\mathit{OFG}$能否成为等腰直角三角形?如果能，求出此时 $\mathit{AE}$的长，如果不能，说明理由.