2010年高考试题分项版理科数学之专题九 立体几何

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PD\perp \mathrm{平面}ABCD$ ， $PD=DC=BC=1,Ab=2,AB\parallel DC,\angle BCD={90}^{°}$ .

（1）求证： $PC\perp BC$

（2）求点 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离.

一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（  ）

如图，在多面体 $ABCDEF$ 中，四边形 $ABCD$ 是正方形， $EF//AB$ ， $EF\perp FB$ ， $AB=2EF$ ， $\angle BFC={90}^{°}$ ， $BF=FC$ ， $H$ 为 $BC$ 的中点.

(Ⅰ)求证： $FH$ ∥平面 $EDB$ ；
(Ⅱ)求证： $AC\perp$ 平面 $EDB$ ；
(Ⅲ)求二面角 $B-DE-C$ 的大小。

若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（  ）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是矩形， $PA\perp$ 平面 $ABCD$ ， $AP=AB=2,BC=2\sqrt{2}$ , $E,F$ 分别是 $AD,PC$ 的中点.

(1)证明： $PC\perp$ 平面 $BEF$

(2)求平面 $BEF$ 与平面 $BAP$ 夹角的大小

如图，在五棱锥 $P-ABCDE$ 中， $PA\perp \mathrm{平面}ABCDE$ ， $AB\parallel CD$ ， $AC\parallel ED$ ， $AE\parallel BC$ ， $\angle ABC=45°$ ， $AB=2\sqrt{2}$ ， $BC=2AE=4$ ，三角形 $PAB$ 是等腰三角形．

（Ⅰ）求证： $\mathrm{平面}PCD\perp \mathrm{平面}PAC$ ；
（Ⅱ）求直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥 $P-ACDE$ 的体积．

如图所示，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中, $E$ 是棱 $D{D}_1$ 的中点.

（Ⅰ）求直线 $BE$ 的平面 $AB{B}_1{A}_1$ 所成的角的正弦值；
（II）在棱 $C_1{D}_1$ 上是否存在一点 $F$ ，使 $B_{1}F\parallel$ 平面 $A_{1}BE$ ,证明你的结论.

在空间，下列命题正确的是

如图， $△ABC$ 为三角形， $AA`//BB`//CC`,$   $CC`$ ⊥平面 $ABC$ 且 $3AA`=\frac{3}{2}BB`=CC`=AB$ ,则多面体 $ABC-A`B`C`$ 的正视图（也称主视图）是（  ）

如图， $\stackrel{⏜}{ABC}$ 是半径为 $a$ 的半圆， $AC$ 为直径，点 $E$ 为 $\stackrel{⏜}{AC}$ 的中点，点 $B$ 和点 $C$ 为线段 $AD$ 的三等分点．平面 $AEC$ 外一点 $F$ 满足 $FB=DF=\sqrt{5}a$ ， $FE=\sqrt{6}a$ ．

（1）证明： $EB\perp FD$ ；
（2）已知点 $Q,R$ 分别为线段 $FE,FB$ 上的点，使得 $BQ=\frac{2}{3}FE$ , $FR=\frac{2}{3}FB$ ,求平面 $BED$ 与平面 $RQD$ 所成二面角的正弦值.

如图，若 $\Omega$ 是长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 被平面 $EFGH$ 截去几何体 $EFGH{B}_1{C}_1$ 后得到的几何体，其中 $E$ 为线段 $A_1{B}_1$ 上异于 $B_1$ 的点， $F$ 为线段 $B{B}_1$ 上异于 $B_1$ 的点，且 $EH\parallel A_1{D}_1$ ，则下列结论中不正确的是（  ）

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于  .

如图，圆柱 $O{O}_1$ 内有一个三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 $AB$ 是圆 $O$ 的直径。

（Ⅰ）证明：平面 $A_{1}AC{C}_1\perp \mathrm{平面}{B}_{1}BC{C}_1$ ；
（Ⅱ）设 $AB=A{A}_1$ 。在圆柱 $O{O}_1$ 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 内的概率为 $P$ 。
（i）当点 $C$ 在圆周上运动时，求 $P$ 的最大值；
(ii)记平面 $A_{1}AC{C}_1$ 与平面 $B_{1}OC$ 所成的角为 $\theta \left(0^{°}<\theta \le {90}^{°}\right)$ 。当 $P$ 取最大值时，求 $\cos \theta$ 的值。

一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为（  ）

如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为2，动点 $E,F$ 在棱 $A_1{B}_1$ 上，动点 $P,Q$ 分别在棱 $AD,CD$ 上，若 $EF=1,A_{1}E=x,DQ=y,DP=z$ （ $x,y,z$ 大于零），则四面体 $PEFQ$ 的体积（  ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

如图，正方形 $ABCD$ 和四边形 $ACEF$ 所在的平面互相垂直， $CE\perp AC,EF\parallel AC,AB=\sqrt{2},CE=EF=1$

（Ⅰ）求证： $AF\parallel$ 平面 $BDE$ ；
（Ⅱ）求证： $CF\perp$ 平面BDE；
（Ⅲ）求二面角 $A-BE-D$ 的大小.

设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 $a$，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(   ).

正视图为一个三角形的几何体可以是       （写出三种）.

如图，已知四棱锥 $P-ABCD$的底面为等腰梯形， $AB//CD,AC\perp BD$，垂足为 $H$， $PH$是四棱锥的高， $E$为 $AD$中点.
（1）证明： $PE\perp BC$;

（2）若 $\angle APB=\angle ADB={60}^{°}$，求直线 $PA$与平面 $PEH$所成角的正弦值.

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为    .

如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $E,F$ 分别是棱 $BC,C{C}_1$ 上的点， $CF=AB=2CE,AB:AD:A{A}_1=1:2:4$ .

（1）求异面直线 $EF$ 与 $A_{1}D$ 所成角的余弦值；
（2）证明 $AF\perp$ 平面 $A_{1}ED$ ;

（3）求二面角 $A_1-ED-F$ 的正弦值.

有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为 $a$的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 $a$的取值范围是(   ).

如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为   .

已知三棱锥 $P-ABC$ 中， $PA\perp ABC,AB\perp AC,PA=AC=\frac{1}{2}AB$ , $N$ 为 $AB$ 上一点， $AB=4AN,M,S$ 分别为 $PB,BC$ 的中点.

（Ⅰ）证明： $CM\perp SN$

（Ⅱ）求 $SN$ 与平面 $CMN$ 所成角的大小.

设 $l,m$是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是（   ）

若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 $c{m}^3$  .

如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E,F$ 分别在线段 $AB,AD$ 上， $AE=EB=AF=\frac{2}{3}FD=4$ .沿直线 $EF$ 将 $△AEF$ 翻折成 $△A`EF$ ，使平面 $A^{,}EF$ $\perp \mathrm{平面}BEF$ .

（Ⅰ）求二面角 $A-FD-C$ 的余弦值；
（Ⅱ）点 $M,N$ 分别在线段 $FD,BC$ 上，若沿直线 $MN$ 将四边形 $MNCD$ 向上翻折，使 $C$ 与 $A$ 重合，求线段 $FM$ 的长.

过正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的顶点 $A$ 作直线 $l$ ，使 $l$ 与棱 $AB,AD,A{A}_1$ 所成的角都相等，这样的直线 $l$ 可以作（  ）

如图，在三棱锥 $O-ABC$ 中，三条棱 $OA$ ， $OB$ ， $OC$ 两两垂直，且 $OA>OB>OC$ ，分别经过三条棱 $OA$ ， $OB$ ， $OC$ 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 $S_1,S_2,S_3,$ 则 $S_1,S_2,S_3,$ 的大小关系为   ．

如图， $△BCD$与 $△MCD$都是边长为2的正三角形，
平面 $MCD\perp$平面 $BCD$， $AB\perp$平面 $BCD$， $AB=2\sqrt{3}$.
（1）求点 $A$到平面 $MBC$的距离；
（2）求平面 $ACM$与平面 $BCD$所成二面角的正弦值.

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形， $PA\perp$ 底面 $ABCD$ ， $PA=PB\sqrt{6}$ ，点 $E$ 是棱 $PB$ 的中点。

( $I$ )求直线 $AD$ 与平面 $PBC$ 的距离；
( $II$ )若 $AD=\sqrt{3}$ ，求二面角 $A-EC-D$ 的平面角的余弦值。

到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是(   )

已知正四棱锥 $S-ABCD$中， $SA=2\sqrt{3}$，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为(   )

与正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的三条棱 $AB,C{C}_1,A_1{D}_1$所在直线的距离相等的点(   )

已知球 $O$的半径为4,圆 $M$与圆 $N$为该球的两个小圆, $AB$为圆 $M$与圆 $N$的公共弦, $AB=4$.若 $OM=ON=3$,则两圆圆心的距离 $MN=$    ．

如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $AC=BC$， $A{A}_1=AB$， $D$为 $B{B}_1$的中点， $E$为 $A{B}_1$上的一点， $AE=3E{B}_1$．

（Ⅰ）证明： $DE$为异面直线 $A{B}_1$与 $CD$的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线 $A{B}_1$与 $CD$的夹角为45°，求二面角 $A_1-A{C}_1-B_1$的大小．

圆柱形容器内部盛有高度为8 $cm$ 的水,若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后,水恰好淹没最上面的球（如图所示）,则球的半径是     $cm$ .

如图，在四面体 $ABOC$ 中, $OC\perp OA,OC\perp OB,\angle AOB={120}^{°}$ , 且 $OA=OB=OC=1$ .

（Ⅰ）设为 $P$ 为 $AC$ 的中点，证明：在 $AB$ 上存在一点 $Q$ ，使 $PQ\perp OA$ ，并计算 $\frac{AB}{AQ}$ 的值；
（Ⅱ）求二面角 $O-AC-B$ 的平面角的余弦值.

半径为 $R$ 的球 $O$ 的直径 $AB$ 垂直于平面 $\alpha$ ,垂足为 $B$ , $∆BCD$ 是平面 $\alpha$ 内边长为 $R$ 的正三角形,线段 $AC$ $、$ $AD$ 分别与球面交于点 $M,N$ ,那么 $M、N$ 两点间的球面距离是（  ）

如图，二面角 $\alpha -l-\beta$ 的大小是60°，线段 $AB\subset \alpha ,B\in l$ .
$AB$ 与 $l$ 所成的角为30°.则 $AB$ 与平面 $\beta$ 所成的角的正弦值是   .

已知正方体 $ABCD－A`B`C`D`$ 的棱长为1，点 $M$ 是棱 $AA`$ 的中点，点O是对角线 $BD`$ 的中点.
（Ⅰ）求证： $OM$ 为异面直线 $AA`$ 和 $BD`$ 的公垂线；
（Ⅱ）求二面角 $M－BC`－B`$ 的大小；
（Ⅲ）求三棱锥 $M－OBC$ 的体积.

正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $B{B}_1$与平面 $AC{D}_1$所成角的余弦值为(   ).

已知在半径为2的球面上有 $A,B,C,D$四点，若 $AB=CD=2$，则四面体 $ABCD$的体积的最大值为

如图，四棱锥 $S-ABCD$中， $SD\perp$底面 $ABCD$， $AB//DC,AD\perp DC,AB=AD=1,DC=SD=2$， $E$为棱 $SB$上的一点，平面 $EDC\perp$平面 $SBC$.
（Ⅰ）证明： $SE=2EB$；
（Ⅱ）求二面角 $A-DE-C$的大小 .