如下图所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA₁＝4，点D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥的体积．