如图， 在直三棱柱 ABC - A₁B₁C₁中， D、 E分别是BC和CC₁的中点， 已知AB=AC=AA₁=4，∠BAC=90°.

（Ⅰ）求证： B₁D⊥平面AED；
（Ⅱ）求二面角B₁-AE-D的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥A-B₁DE的体积.