初中数学等腰三角形的判定试题

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{DAB}$，已知 $\mathit{CE}=6$， $\mathit{BE}=8$， $\mathit{DE}=10$．

（1）求证： $\angle \mathit{BEC}=90°$；

（2）求 $\cos \angle \mathit{DAE}$．

如图， $\odot O$的弦 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$的延长线相交于点 $P$，且 $\mathit{AB}=\mathit{CD}$．求证： $\mathit{PA}=\mathit{PC}$．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 的三边长分别为4、4、6，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 所在平面内画一条直线，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 $($ 　　 $)$ 条．

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象性质．

小明根据学习函数的经验，对函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}$，当 $k>0$时的图象性质进行了探究．

下面是小明的探究过程：

（1）如图所示，设函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}$图象的交点为 $A$， $B$，已知 $A$点的坐标为 $(-k,-1)$，则 $B$点的坐标为　　；

（2）若点 $P$为第一象限内双曲线上不同于点 $B$的任意一点．

①设直线 $\mathit{PA}$交 $x$轴于点 $M$，直线 $\mathit{PB}$交 $x$轴于点 $N$．求证： $\mathit{PM}=\mathit{PN}$．

证明过程如下：设 $P(m,\frac{k}{m})$，直线 $\mathit{PA}$的解析式为 $y=\mathit{ax}+b(a\ne 0)$．

则 $\left\{\begin{array}{c}-\mathit{ka}+b=-1\\ \mathit{ma}+b=\frac{k}{m}\end{array}\right.$，

解得 $\left\{\begin{array}{c}a=\\ b=\end{array}\right.$　　

$\therefore$直线 $\mathit{PA}$的解析式为　　

请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．

②当 $P$点坐标为 $(1$， $k\left)\right(k\ne 1)$时，判断 $\mathit{\Delta PAB}$的形状，并用 $k$表示出 $\mathit{\Delta PAB}$的面积．

如图1，以 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交边 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $E$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{AC}$于点 $D$，且 $\mathit{ED}\perp \mathit{AC}$．

（1）试判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状，并说明理由；

（2）如图2，若线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{DE}$的延长线交于点 $F$， $\angle C=75°$， $\mathit{CD}=2-\sqrt{3}$，求 $\odot O$的半径和 $\mathit{BF}$的长．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A$在 $y$轴正半轴上，边 $\mathit{BC}$在 $x$轴上，且 $\mathit{BC}=5$， $\sin \angle \mathit{ABC}=\frac{4}{5}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象分别与 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$交于点 $M$、点 $N$，点 $N$的坐标是 $(3,n)$，连接 $\mathit{OM}$， $\mathit{MC}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求证： $\mathit{\Delta OMC}$是等腰三角形．

如图，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $C$分别在坐标轴上， $B(8,7)$， $D(5,0)$，点 $P$是边 $\mathit{AB}$或边 $\mathit{BC}$上的一点，连接 $\mathit{OP}$， $\mathit{DP}$，当 $\mathit{\Delta ODP}$为等腰三角形时，点 $P$的坐标为　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $C$出发以 $1\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{CA}$匀速运动，同时动点 $Q$从点 $A$出发以 $\sqrt{2}\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{AB}$匀速运动，当点 $P$到达点 $A$时，点 $P$、 $Q$同时停止运动，设运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）当 $t$为何值时，点 $B$在线段 $\mathit{PQ}$的垂直平分线上？

（2）是否存在某一时刻 $t$，使 $\mathit{\Delta APQ}$是以 $\mathit{PQ}$为腰的等腰三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（3）以 $\mathit{PC}$为边，往 $\mathit{CB}$方向作正方形 $\mathit{CPMN}$，设四边形 $\mathit{QNCP}$的面积为 $S$，求 $S$关于 $t$的函数关系式．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $C$是 $\mathit{AB}$延长线上的点， $\mathit{AC}$的垂直平分线交半圆于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{DA}$， $\mathit{DC}$．已知半圆 $O$的半径为3， $\mathit{BC}=2$．

（1）求 $\mathit{AD}$的长．

（2）点 $P$是线段 $\mathit{AC}$上一动点，连接 $\mathit{DP}$，作 $\angle \mathit{DPF}=\angle \mathit{DAC}$， $\mathit{PF}$交线段 $\mathit{CD}$于点 $F$．当 $\mathit{\Delta DPF}$为等腰三角形时，求 $\mathit{AP}$的长．

如图，在 $3\times 3$的方格中， $A$、 $B$、 $C$、 $D$、 $E$、 $F$分别位于格点上，从 $C$、 $D$、 $E$、 $F$四点中任取一点，与点 $A$、 $B$为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是　　．

如图，在矩形ABCD中， $\mathit{AB}＝4$， $\mathit{BC}＝6$，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为　　．

如图，矩形 ABCD中， AB＞ AD，把矩形沿对角线 AC所在直线折叠，使点 B落在点 E处， AE交 CD于点 F，连接 DE．

（1）求证：△ ADE≌△ CED；

（2）求证：△ DEF是等腰三角形．

平面直角坐标系中，已知 $A（2，2\mathit{）、}B（4，0）$．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）

A．5B．6C．7D．8

如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于C．

（1）尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于D，（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．

已知直线y＝﹣ $\sqrt{3}$x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线 $y=-\frac{1}{3}{(x-\sqrt{3})}^2+4$上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（　　）

A．3个B．4个C．5个D．6个