初中数学勾股定理试题

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}==90°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 在边 $\mathit{BC}$ 上， $\mathit{DE}\perp \mathit{DA}$ 且 $\mathit{DE}=\mathit{DA}$ ， $\mathit{AE}$ 交边 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{CE}$ ．

（1）特例发现：如图1，当 $\mathit{AD}=\mathit{AF}$ 时，

①求证： $\mathit{BD}=\mathit{CF}$ ；

②推断： $\angle \mathit{ACE}=$ 　 　 $°$ ；

（2）探究证明：如图2，当 $\mathit{AD}\ne \mathit{AF}$ 时，请探究 $\angle \mathit{ACE}$ 的度数是否为定值，并说明理由；

（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{AF}}=\frac{1}{3}$ 时，过点 $D$ 作 $\mathit{AE}$ 的垂线，交 $\mathit{AE}$ 于点 $P$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $K$ ，若 $\mathit{CK}=\frac{16}{3}$ ，求 $\mathit{DF}$ 的长．

如图，矩形中，为边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，连接交于点，连接．若，，则矩形的面积为　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ，点 $O$ 在 $\mathit{AC}$ 上，以 $\mathit{OA}$ 为半径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线 $\mathit{DF}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}=\mathit{DF}$ ；

（2）若 $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CF}=1$ ，求半圆 $O$ 的半径长．

问题背景 如图（1），已知 $\mathit{\Delta ABC}\backsim \mathit{\Delta ADE}$ ，求证： $\mathit{\Delta ABD}\backsim \mathit{\Delta ACE}$ ；

尝试应用 如图（2），在 $\mathit{\Delta ABC}$ 和 $\mathit{\Delta ADE}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADE}=30°$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{DE}$ 相交于点 $F$ ，点 $D$ 在 $\mathit{BC}$ 边上， $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{BD}}=\sqrt{3}$ ，求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{CF}}$ 的值；

拓展创新 如图（3）， $D$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 内一点， $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CBD}=30°$ ， $\angle \mathit{BDC}=90°$ ， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AC}=2\sqrt{3}$ ，直接写出 $\mathit{AD}$ 的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=20$ ，点 $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的一点，将 $\mathit{\Delta ABE}$ 沿着 $\mathit{AE}$ 折叠，点 $B$ 刚好落在 $\mathit{CD}$ 边上点 $G$ 处；点 $F$ 在 $\mathit{DG}$ 上，将 $\mathit{\Delta ADF}$ 沿着 $\mathit{AF}$ 折叠，点 $D$ 刚好落在 $\mathit{AG}$ 上点 $H$ 处，此时 $S_{\mathit{\Delta GFH}}:S_{\mathit{\Delta AFH}}=2:3$ ，

（1）求证： $\mathit{\Delta EGC}\backsim \mathit{\Delta GFH}$ ；

（2）求 $\mathit{AD}$ 的长；

（3）求 $\tan \angle \mathit{GFH}$ 的值．

如图， $\mathit{AC}$ 为 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AP}$ 为 $\odot O$ 的切线， $M$ 是 $\mathit{AP}$ 上一点，过点 $M$ 的直线与 $\odot O$ 交于点 $B$ ， $D$ 两点，与 $\mathit{AC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{BE}$ ．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{BM}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AD}=\frac{24}{5}$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图1， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，直线 $\mathit{AM}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，直线 $\mathit{BN}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$ ，点 $C$ （异于点 $A)$ 在 $\mathit{AM}$ 上，点 $D$ 在 $\odot O$ 上，且 $\mathit{CD}=\mathit{CA}$ ，延长 $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{BN}$ 相交于点 $E$ ，连接 $\mathit{AD}$ 并延长交 $\mathit{BN}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $\mathit{BE}=\mathit{EF}$ ；

（3）如图2，连接 $\mathit{EO}$ 并延长与 $\odot O$ 分别相交于点 $G$ 、 $H$ ，连接 $\mathit{BH}$ ．若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{AC}=4$ ，求 $\tan \angle \mathit{BHE}$ ．

如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是　 　．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{AC}=6$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BA}$ ，交 $\mathit{BA}$ 的延长线于点 $E$ ，则线段 $\mathit{DE}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{12}{5}$

B．

$\frac{18}{5}$

C．

4

D．

$\frac{24}{5}$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=4$ ，将 $\angle A$ 向内翻折，点 $A$ 落在 $\mathit{BC}$ 上，记为 $A_1$ ，折痕为 $\mathit{DE}$ ．若将 $\angle B$ 沿 $E{A}_1$ 向内翻折，点 $B$ 恰好落在 $\mathit{DE}$ 上，记为 $B_1$ ，则 $\mathit{AB}=$ 　 　．

已知等边三角形一边上的高为 $2\sqrt{3}$ ，则它的边长为 $($ 　　 $)$

A．

2

B．

3

C．

4

D．

$4\sqrt{3}$

如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．

（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；

（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．

如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为　 　．

菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是 $($ 　　 $)$

A．

5

B．

20

C．

24

D．

32

在中，，若，，则的长是　　．