初中数学勾股定理试题

如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 都在格点上，以 $\mathit{AB}$ 为直径的圆经过点 $C$ 、 $D$ ，则 $\sin \angle \mathit{ADC}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{2\sqrt{13}}{13}$

B．

$\frac{3\sqrt{13}}{13}$

C．

$\frac{2}{3}$

D．

$\frac{3}{2}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一点，以 $\mathit{BD}$ 为直径的 $\odot O$ 经过点 $A$ ，且 $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{ABC}$ ．

（1）请判断直线 $\mathit{AC}$ 是否是 $\odot O$ 的切线，并说明理由；

（2）若 $\mathit{CD}=2$ ， $\mathit{CA}=4$ ，求弦 $\mathit{AB}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{BAC}$ 的平分线 $\mathit{AD}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $\mathit{AB}$ 的中点，若 $\mathit{BC}=12$ ， $\mathit{AD}=8$ ，则 $\mathit{DE}$ 的长为 　 　．

如图，在 $\odot O$ 中，点 $P$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的中点，弦 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{PC}$ 互相垂直，垂足为 $M$ ， $\mathit{BC}$ 分别与 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{PD}$ 相交于点 $E$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{MN}$ ．

（1）求证： $N$ 为 $\mathit{BE}$ 的中点．

（2）若 $\odot O$ 的半径为8， $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的度数为 $90°$ ，求线段 $\mathit{MN}$ 的长．

如图，已知线段 $a$ ，点 $A$ 在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 内．

（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点 $P$ ，使点 $P$ 到两坐标轴的距离相等，且与点 $A$ 的距离等于 $a$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若 $a=2\sqrt{5}$ ， $A$ 点的坐标为 $(3,1)$ ，求 $P$ 点的坐标．

如图，在中，已知，，垂足为，．若是的中点，则　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=2$ ， $\angle \mathit{ABC}=60°$ ， $\angle \mathit{ACB}=45°$ ， $D$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点，直线 $l$ 经过点 $D$ ， $\mathit{AE}\perp l$ ， $\mathit{BF}\perp l$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ，则 $\mathit{AE}+\mathit{BF}$ 的最大值为 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{6}$

B．

$2\sqrt{2}$

C．

$2\sqrt{3}$

D．

$3\sqrt{2}$

如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求菱形的周长．

菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为　　．

在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，，分别是，边上的动点，连接，，，则周长的最小值是　　．

阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一 $)$ ，已知边长为2的等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 的重心为点 $O$ ，求 $\mathit{\Delta OBC}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积．

（2）性质探究：如图（二 $)$ ，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 的重心为点 $O$ ，请判断 $\frac{\mathit{OD}}{\mathit{OA}}$ 、 $\frac{S_{\mathit{\Delta OBC}}}{S_{\mathit{\Delta ABC}}}$ 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．

（3）性质应用：如图（三 $)$ ，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $\mathit{BE}$ 交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ．

①若正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为4，求 $\mathit{EM}$ 的长度；

②若 $S_{\mathit{\Delta CME}}=1$ ，求正方形 $\mathit{ABCD}$ 的面积．

如图1，在等腰直角三角形 $\mathit{ADC}$ 中， $\angle \mathit{ADC}=90°$ ， $\mathit{AD}=4$ ．点 $E$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点，以 $\mathit{DE}$ 为边作正方形 $\mathit{DEFG}$ ，连接 $\mathit{AG}$ ， $\mathit{CE}$ ．将正方形 $\mathit{DEFG}$ 绕点 $D$ 顺时针旋转，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <90°)$ ．

（1）如图2，在旋转过程中，

①判断 $\mathit{\Delta AGD}$ 与 $\mathit{\Delta CED}$ 是否全等，并说明理由；

②当 $\mathit{CE}=\mathit{CD}$ 时， $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{EF}$ 交于点 $H$ ，求 $\mathit{GH}$ 的长．

（2）如图3，延长 $\mathit{CE}$ 交直线 $\mathit{AG}$ 于点 $P$ ．

①求证： $\mathit{AG}\perp \mathit{CP}$ ；

②在旋转过程中，线段 $\mathit{PC}$ 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

如图，在矩形中，，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与，，交于点，，，则　　．

已知 $D$ 是 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 斜边 $\mathit{AB}$ 的中点， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=30°$ ，过点 $D$ 作 $\text{Rt}\Delta \text{DEF}$ 使 $\angle \mathit{DEF}=90°$ ， $\angle \mathit{DFE}=30°$ ，连接 $\mathit{CE}$ 并延长 $\mathit{CE}$ 到 $P$ ，使 $\mathit{EP}=\mathit{CE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{FP}$ ， $\mathit{BP}$ ，设 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{DE}$ 交于 $M$ ， $\mathit{PB}$ 与 $\mathit{EF}$ 交于 $N$ ．

（1）如图1，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 共线时，求证：

① $\mathit{EB}=\mathit{EP}$ ；

② $\angle \mathit{EFP}=30°$ ；

（2）如图2，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 不共线时，连接 $\mathit{BF}$ ，求证： $\angle \mathit{BFD}+\angle \mathit{EFP}=30°$ ．

如图1，已知四边形是正方形，将，分别沿，向内折叠得到图2，此时与重合、都落在点），若，，则的长为　　．