高中数学试题

若复数 $\left(1﹣i\right)\left(a+i\right)$ 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　）

A．

$\mathit{（﹣}\infty ，1）\mathit{ }$

B．

$\left(\mathit{﹣}\infty \mathit{，}\mathit{﹣}1\right)$

C．

$（1，+\infty ）\mathit{ }$

D．

$\left(\mathit{﹣}1，+\infty \right)$

若集合 $A=\left\{x\right|﹣2＜x＜1\}$ ， $B=\left\{x\right|x\mathit{＜﹣}1或x＞3\}$ ，则 $A\cap B=$ （　　）

A．

$\left\{x\right|﹣2＜x\mathit{＜﹣}1\}\mathit{ }$

B．

$\left\{x\right|﹣2＜x＜3\}\mathit{ }$

C．

$\left\{x\right|﹣1＜x＜1\}$

D．

$\left\{x\right|1＜x＜3\}$

设常数 $t>2$ ，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线 $l$ ： $x=t$ ，曲线 $\Gamma$ ： $y²=8x\left(0\le x\le t，y\ge 0\right)$  ， $l$ 与x轴交于点A，与 $\Gamma$ 交于点B，P、Q分别是曲线 $\Gamma$ 与线段AB上的动点。    

（1）用t表示点B到点F的距离；    

（2）设t=3， $\mid \mathit{FQ}\mid =2$ ，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；    

（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在 $\Gamma$ 上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。    

某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中 $x\%(0<x<100)$ 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}30,0<x\le 30，\\ 2x+\frac{1800}{x}-90,30<x<100\end{array}$ （单位：分钟），

而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？    

（2）求该地上班族S的人均通勤时间 $g\left(x\right)$ 的表达式；讨论 $g\left(x\right)$ 的单调性，并说明其实际意义。

设常数 $a\in R$ ，函数   $f\left(x\right)=\mathit{asin}2x+2\mathit{co}{s}^{2}x$    

（1）若 $f\left(x\right)$ 为偶函数，求 $a$ 的值；    

（2）若 $f〔\frac{\pi }{4}〕$ $=\sqrt{3}+1$ ，求方程 $f（x）=1-\sqrt{2}$ 在区间 $\left[-\pi ，\pi \right]$ 上的解。

已知圆锥的顶点为 $P$，底面圆心为 $O$，半径为 $2$。

（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

（2）设 $PO=4$， $OA，OB$是底面半径，且 $\angle AOB=90°$ ，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.

设D是含数1的有限实数集， $f\left(x\right)$ 是定义在D上的函数，若 $f\left(x\right)$ 的图像绕原点逆时针旋转 $\frac{\text{π}}{6}$ 后与原图像重合，则在以下各项中， $f\left(1\right)$ 的可能取值只能是（ ）            

A．

$\sqrt{3}$

B．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

D．

0

《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 $A{A}_1$ 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 $A{A}_1$ 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

A．

4

B．

8

C．

12

D．

16

已知 $a\in R$ ，则" $a>1$ "是" $\frac{1}{a}<1$ "的（ ）            

A．

充分非必要条件

B．

必要非充分条件

C．

充要条件

D．

既非充分又非必要条件

设P是椭圆 $\frac{x²}{5}+\frac{y²}{3}=1$ 上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）            

A．

$2\sqrt{2}$

B．

$2\sqrt{3}$

C．

$2\sqrt{5}$

D．

$4\sqrt{2}$

已知实数 $x_1$ 、 $x_2$ 、 $y_1$ 、 $y_2$ 满足： $x_1{}^2+y_1{}^2=1$ ， $x_2{}^2+y_2{}^2=1$ ， $x_1{x}_2\text{+}{y}_1{y}_2=\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\mid x_1+y_1-1\mid }{\sqrt{2}}$ + $\frac{\mid x_2+y_2-1\mid }{\sqrt{2}}$ 的最大值为________    

已知常数 $a>0$ ，函数 $f\left(x\right)=\frac{2^x}{2^x+\mathit{ax}}$ 的图像经过点 $p\left(p，\frac{6}{5}\right)$ 、 $Q(q，-\frac{1}{5})$ ，若 $2^{p+q}=36\mathit{pq}$ ，则 $a$ =________    

设等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=q^{n-1}\left(n\in N^{*}\right)$ ，前n项和为S _n。若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\text{S}}_{\text{n}}}{a_{n+1}}=\frac{1}{2}$ ，则q=________    

有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示）   

在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且 $\left|\stackrel{\to }{EF}\right|=2$ ，则 $\stackrel{\to }{AE}·\stackrel{\to }{BF}$ 的最小值为________