高中数学试题

已知 $\alpha \in \left\{-2，-1，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1，2，3\right\}$ ，若幂函数 $f\left(x\right)=x^a$ 为奇函数，且在 $\left(\mathit{0}\mathit{，}\mathit{+}\mathit{\infty }\right)$ 上递减，则 $a=$ ________    

记等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前n项和为 $S_n$ ，若 $a₃=0,a_6+a_7=14$ ，则 $S_7=$ ________。

已知复数z满足 $\left(1+i\right)z=1-7i$ （i是虚数单位），则 $\left|z\right|$ =________。    

设常数 $a\in R$ ，函数 $f\left(x\right)={\log }_2(x+a)$ ，若 $f\left(x\right)$ 的反函数的图像经过点 $\left(3，1\right)$ ，则 $a=$ ________。    

在 ${\left(1+x\right)}^7$ 的二项展开式中， $x^2$ 项的系数为________。（结果用数值表示）    

双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 的渐近线方程为________。   

行列式 $\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 5\end{array}\right|$ 的值为________。   

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点P到点F $\left(3,0\right)$的距离的4倍与它到直线 $x=2$的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和

（Ⅰ）求点P的轨迹C；

（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 $m$米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为 $x$米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 $(2+\sqrt{x})x$万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 $y$万元。

（Ⅰ）试写出 $y$关于 $x$的函数关系式；

（Ⅱ）当 $m$=640米时，需新建多少个桥墩才能使 $y$最小？

如下图，在正三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $\mathit{AB}=\sqrt{2}\mathit{AA}$ ，D是 $A_1{B}_1$ 的中点，点E在 $A_1{C}_1$ 上，且 $\mathit{DE}\perp \mathit{AE}$ 。

（1）证明:平面 $\mathit{ADE}\perp$ 平面 $C_2:y^2=12x$

（2）求直线 $\mathit{AD}$ 和平面 $\mathit{ABC}$ 所成角的正弦值。    

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、 $\frac{1}{6}$ ，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。

（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

（2）记 $\xi$ 为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 $\xi$  的分布列及数学期望。

在 $\mathit{\Delta ABC}$，已知 $2\overrightarrow{\mathit{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathit{AC}}=\sqrt{3}\left|\overrightarrow{\mathit{AB}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\mathit{AC}}\right|=3B{C}^2$，求角A，B，C的大小。

将正 $△\mathit{ABC}$ 分割成 $n^2\left(n\ge 2,n\in N^{*}\right)$ 个全等的小正三角形（图1，图2分别给出了 $n=2,3$ 的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于 $△\mathit{ABC}$ 的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为 $f\left(n\right)$ ，则有 $f\left(2\right)=2$ ， $f\left(3\right)=$     ，…， $f\left(n\right)=$     .

在半径为13的球面上有A , B, C 三点， $\mathit{AB}=6,\mathit{BC}=8,\mathit{CA}=10$，则

（1）球心到平面ABC的距离为   ；

（2）过Ａ，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为     

一个总体分为A，B两层，其个体数之比为 $4:1$，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为 $\frac{1}{28}$，则总体中的个体数是    。