高中数学试题

（1）讨论函数 $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}{e}^x$ 的单调性，并证明当 $x$ >0时， $(x-2)e^x+x+2>0;$

（2）证明：当 $a\in [0,1)$ 时，函数 $g（\text{x}）\text{=}\frac{e^x-\mathit{ax}-a}{x^2}(x>0)$ 有最小值.设 $g（x）$ 的最小值为 $h\left(a\right)$ ，求函数 $h\left(a\right)$ 的值域.

已知椭圆 $E:\frac{x^2}{t}+\frac{y^2}{3}=1$ 的焦点在 $x$ 轴上， A是 E的左顶点，斜率为 $k(k>0)$ 的直线交 E于 A, M两点，点 N在 E上， $\mathit{MA}\perp \mathit{NA}$ .

（1）当 $t=4$ ， $\left|\mathit{AM}\right|=\left|\mathit{AN}\right|$ 时，求 $△\mathit{AMN}$ 的面积；

（2）当 $2\left|\mathit{AM}\right|=\left|\mathit{AN}\right|$ 时，求 k的取值范围.

如图，菱形ABCD的对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{AC}=6$ ，点 $E,F$ 分别在 $\mathit{AD},\mathit{CD}$ 上， $\mathit{AE}=\mathit{CF}=\frac{5}{4}$ ， $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $H$ .将 $△\mathit{DEF}$ 沿 $\mathit{EF}$ 折到 $△D^{\text{'}}\mathit{EF}$ 的位置， $O{D}^{\text{'}}=\sqrt{10}$ .

（1）证明： $D^{\text{'}}H\perp$平面 $\mathit{ABCD}$ ；

（2）求二面角 $B-D^{\text{'}}A-C$ 的正弦值.

某险种的基本保费为 $a$（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数	0	1	2	3	4	$\ge$ 5
保费	0.85a	a	1.25a	1.5a	1.75a	2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数	0	1	2	3	4	$\ge$ 5
概率	0.30	0.15	0.20	0.20	0.10	0. 05

（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

$S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前n项和，且 $a_n\text{=}1，S_7=28.$ 记 $b_n\text{=}\left[\lg a_n\right]$ ，其中 $\left[x\right]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[0.9]\text{=0}，\left[\lg 99\right]\text{=1}$ .

（1）求 $b_1，b_{11}，b_{101}$ ；

（2）求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前1 000项和.

若直线 $y=\mathit{kx}+b$是曲线 $y=\mathit{lnx}+2$的切线，也是曲线 $y=\mathit{ln}（x+2）$的切线，则 $b=$________。

有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________。

$\alpha 、\beta$是两个平面， $m、n$是两条直线，有下列四个命题：

①如果 $m\perp n$ ， $m\perp \mathit{\alpha }$ ， $n\parallel \beta$ ， 那么 $\alpha \perp \beta$.

②如果 $m\perp \mathit{\alpha }$ ， $\mathit{n}\parallel \alpha$ ， 那么 $m\perp n$.

③如果 $\alpha \parallel \mathit{\beta }$ ， $\mathit{m}\subset \mathit{\alpha }$ ， 那么 $m\parallel \beta$.

④如果 $m\parallel n$ ， $\alpha \parallel \beta$ ， 那么 $m与\alpha$所成的角和 $n与\beta$所成的角相等.

其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号）

$△\mathit{ABC}$的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\mathit{cosA}=\frac{4}{5}$ ， $\mathit{cosC}=\frac{5}{13}$ ， $a=1$，则 $b=$________．

已知函数 $f\left(x\right)(x\in R)$ 满足 $f(-x)=2-f\left(x\right)$ ，若函数 $y=\frac{x+1}{x}$ 与 $y=f\left(x\right)$ 图像的交点为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdot \cdot \cdot ,(x_m,y_m),$ 则 $\underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}(x_i+y_i)=$ ( )

A．

0

B．

m

C．

2m

D．

4m

已知 $F_1$ ， $F_2$ 是双曲线 $E\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左，右焦点，点 M在 E上， $\mathit{M}{F}_1$ 与 $x$ 轴垂直， $\mathit{sin}\angle M{F}_2{F}_1=\frac{1}{3}$ ,则E的离心率为( )

A．

$\sqrt{2}$

B．

$\frac{3}{2}$

C．

$\sqrt{3}$

D．

2

从区间 $[0,1]$ 随机抽取2 n个数 $x_1$ , $x_2$ ，…， $x_n$ ， $y_1$ ， $y_2$ ，…， $y_n$ ，构成 n个数对 $(x_1,y_1)$ ， $(x_2,y_2)$ ，…， $(x_n,y_n)$ ，其中两数的平方和小于1的数对共有 m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 $\pi$ 的近似值为( )

A．

$\frac{4n}{m}$

B．

$\frac{2n}{m}$

C．

$\frac{4m}{n}$

D．

$\frac{2m}{n}$

若 $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{3}{5}$ ，则 $\mathit{sin}2\alpha =$ ( )

A．

$\frac{7}{25}$

B．

$\frac{1}{5}$

C．

$-\frac{1}{5}$

D．

$-\frac{7}{25}$

中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的 $x=2$ ， $n=2$ ，依次输入的a为2，2，5，则输出的 $s=$ ( )

A．

7

B．

12

C．

17

D．

34

若将函数 $y=2\mathit{sin}2x$ 的图像向左平移 $\frac{\text{π}}{12}$ 个单位长度，则评议后图象的对称轴为( )

A．	$x=\frac{k\text{π}}{2}-\frac{\text{π}}{6}\mathrm{ }(k\in \mathrm{Z})$	B．	$\mathrm{ }x=\frac{k\text{π}}{2}+\frac{\text{π}}{6}(k\in \mathrm{Z})$
C．	$\mathrm{ }x=\frac{k\text{π}}{2}-\frac{\text{π}}{12}\text{（}\text{K}\text{∈}\text{Z}\text{）}$	D．	$x=\frac{k\text{π}}{2}+\frac{\text{π}}{12}\mathrm{ }(k\in \mathrm{Z})$