高中数学试题

如图所示,设P是抛物线C₁:x²=y上的动点,过点P作圆C₂:x²+(y+3)²=1的两条切线,交直线l:y=-3于A、B两点.

(1)求圆C₂的圆心M到抛物线C₁准线的距离;
(2)是否存在点P,使线段AB被抛物线C₁在点P处的切线平分?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

已知F₁,F₂分别是椭圆E:+y²=1的左、右焦点,F₁,F₂关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.
(1)求圆C的方程;
(2)设过点F₂的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当ab最大时,求直线l的方程.

如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,=4.

(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.

在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.

已知椭圆C₁:+=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C₁的焦点且垂直长轴的弦长为1.

(1)求椭圆C₁的方程;
(2)设点P在抛物线C₂:y=x²+h(h∈R)上,C₂在点P处的切线与C₁交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.

如图,已知抛物线C₁:x²+by=b²经过椭圆C₂:+=1(a>b>0)的两个焦点.

(1)求椭圆C₂的离心率;
(2)设点Q(3,b),又M,N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点,若△QMN的重心在抛物线C₁上,求C₁和C₂的方程.

在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C₁:+=1(a>b>0)的左焦点为F₁(-1,0),且点P(0,1)在C₁上.
(1)求椭圆C₁的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂:y²=4x相切,求直线l的方程.

已知椭圆C₁:+=1(a>b>0)与双曲线C₂:x²-=1有公共的焦点,C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C₁恰好将线段AB三等分,则(　　)

A．a^2=	B．a^2=13
C．b^2=	D．b^2=2

已知向量a="(1,2),b=(cos" α,sin α),设m=a+tb(t为实数).
(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;
(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b和向量m夹角的余弦值为,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.

设e₁,e₂为单位向量,非零向量b=xe₁+ye₂,x,y∈R.若e₁,e₂的夹角为,则的最大值等于　　　　.

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

(1)求证：DC⊥平面ABC；
(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值；
(3)求二面角B－EF－A的余弦值．

如图，在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A₁B＝2.

(1)求棱AA₁与BC所成的角的大小；
(2)在棱B₁C₁上确定一点P，使二面角P－AB－A₁的平面角的余弦值为.

三棱柱ABC－A₁B₁C₁在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB＝2，AC＝4，A₁A＝3.D是BC的中点．

(1)求直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；
(2)求二面角B_1-A₁D-C₁的正弦值．

如图所示，在直三棱柱A₁B₁C₁－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A₁A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC₁与平面ABA₁所成二面角的正弦值．

如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.

(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值；
(2)求二面角OOFE的正弦值．