高中数学空间向量的应用解答题

(本小题12分)
如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=BC，D、E、F分别为棱AB、BC、A₁C₁的中点。

（Ⅰ）证明：EF//平面A₁CD；
（Ⅱ）证明：平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁。

（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点、、分别是线段、、的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面．

（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱的各条棱长均为，是侧棱的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小．

（本小题满分12分）如图，在三棱台中，分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面，，，求平面与平面所成角（锐角）的大小．

如图，已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧面与底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N、P分别是CC₁、BC、A₁B₁的中点．

（1）求证：PN⊥AM；
（2）若直线MB与平面PMN所成的角为θ，求sinθ的值．

（本小题满分14分）如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB＝BC＝AC＝4，PA＝PC＝2．求证：

（1）PA⊥平面EBO；
（2）FG∥平面EBO．

（本小题满分12分）如图,三棱柱中,,,平面平面,与相交于点.

（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

如图，菱形的边长为，，．将菱形 沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．

（1）求证：面；
（2）求点M到平面ABD的距离．

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

（Ⅰ）证明：DN//平面PMB；
（Ⅱ）证明：平面PMB平面PAD；

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：PB⊥平面EFD．

如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD是正三角形，四边形ABCD是矩形，且，E为PB的中点．

（1）求证：PD∥平面ACE；
（2）求证：AC⊥PB

（本小题满分12分）如图,三棱柱中,,,平面平面,与相交于点.

（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

（本小题满分13分）在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，．

（1）求证：；
（2）求证：平面；

如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面，试求的值；
（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．

（本小题满分12分）在等腰中，，，分别是边、的中点，将沿翻折，得到四棱锥，且为棱中点，．

（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求二面角的余弦值，若不存在，请说明理由．