高中数学空间向量的应用解答题

如下图所示：在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；

（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱C₁的中点，且CF⊥AB，AC=BC．

（1）求证：CF∥平面AEB1；
（2）求证：平面AEB₁⊥平面ABB₁A₁．

（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=，点E为PD的中点，点F在棱DC上移动。

（1）当点F为DC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）求证：无论点F在DC的何处，都有PF⊥ AE
（3）求二面角E-AC-D的余弦值。

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．

如图，在直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，   AB∥DC．

（1）求证：D₁C⊥AC₁；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D₁E∥平面A₁BD，并说明理由．

（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，

（1）证明：平面平面；
（2）若，，令AE与平面ABCD所成角为，且，求该四棱锥的体积．

（本小题满分12分）如图，已知长方形中，，为的中点．
将沿折起，使得平面平面为的中点．
  
（1）求证：； 
（2）求直线与平面ADM所成角的正弦值．

（本小题满分12分）在三棱锥中，，，点在棱上，且．
（Ⅰ）试证明：；
（Ⅱ）若，过直线任作一个平面与直线相交于点，得到三棱锥的一个截面，求面积的最小值； 
（Ⅲ）若，求二面角的正弦值．

（本小题满分12分）在三棱锥中，，，点在棱上，且．

（Ⅰ）试证明：；
（Ⅱ）若，过直线任作一个平面与直线相交于点，得到三棱锥的一个截面，求面积的最小值；  
（Ⅲ）若，求二面角的正弦值．

（本小题满分12分） 如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

（本小题满分12分）在三棱柱中，，，，与相交于点．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．

（本小题满分14分）如图，在四棱锥P - ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：

（1）PA∥平面MDB；
（2）PD⊥BC．

（本小题满分12分）已知直四棱柱的底面是菱形，且，为棱的中点为线段的中点．

（1）求证：直线；
（2）求证：

如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．

（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）若，，为的中点，求二面角的平面角的余弦值．

如图，在直三棱柱中，，，分别是的中点。

（1）求证平面；
（2）求点F到平面ABE的距离。